Cтраница 3
Таким образом, во множестве линейных непрерывных функционалов естественным образом определены операции их сложения и умножения на число. Выполнение для этих операций аксиом линейного пространства проверяется безо всякого труда. [31]
Обобщенной функцией медленного роста называется всякий линейный непрерывный функционал на пространстве основных функций У. Очевидно, 9s - линейное множество ( ср. [32]
Последнее неравенство показывает, что всякий линейный непрерывный функционал ограничен на некоторой - окрестности нуля. Обратно, можно утверждать, что любой линейный функционал, ограниченный на некоторой окрестности нуля, непрерывен. [33]
Обобщенной функцией медленного роста называется всякий линейный непрерывный функционал на пространстве основных функций S. Обозначим через S ( ЖП) множество всех обобщенных функций медленного роста. Очевидно, S - линейное множество ( ср. [34]
Обобщенной функцией медленного роста называется всякий линейный непрерывный функционал на пространстве основных функций У. Обозначим через ff 9 ( Rn) множество всех обобщенных функций мед-пенного роста. Очевидно, У - линейное множество ( ср. Линейное множество У с введенной в нем сходимостью называется пространством обобщенных функций медленного роста У. [35]
Обратно, каков бы ни был линейный непрерывный функционал L в OJ ( 8), найдется такая функция и е Lip1 ( К), что L LU. При атом указанная функция определяется с точностью до постоянного слагаемого. [36]
Применим теорему Рисса об общем виде линейного непрерывного функционала в гильбертовом пространстве. [37]
Теорема 4 устанавливает и общий вид линейного непрерывного функционала в Я. [38]
Теорема Хана - Банаха утверждает, что любой линейный непрерывный функционал, заданный на подпространстве норми рованного пространства X, допускает линейное непрерывное продолжение на все X. Для операторов аналогичное утверждение уже не имеет места. В этом параграфе мы рассмотрим, какие положительные результаты можно получить в этом направлении. [39]
Если Vf ( x, h) - линейный непрерывный функционал от h, то производную f ( x) называют градиентом функционала. [40]
Функционалами вида ( 1) не исчерпываются все линейные непрерывные функционалы на пространстве X. Но для некоторых подпространств пространства X формула ( 1) дает уже общий вид линейного непрерывного функционала. Одно такое подпространство рассматривается в следующем пункте. [41]
В этом случае естественно меняется и двойственное пространство линейных непрерывных функционалов. [42]
Мы рассматриваем линейные топологические пространства с достаточным запасом линейных непрерывных функционалов. [43]
Следовательно, bz при 6 G Ck является линейным непрерывным функционалом на функциях ( р G К. [44]
В современной теории дифференциальных уравнений фундаментальные решения рассматриваются как линейные непрерывные функционалы, определенные на некотором множестве основных функций и удовлетворяющие неоднородному дифференциальному уравнению с правой частью, равной функции Дирака. Такая точка зрения позволяет применить к рассматриваемому уравнению преобразование Фурье и привести построение преобразования Фурье от фундаментального решения к алгебраической задаче ( к решению системы алгебраических уравнений), которая в случае дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами разрешима всегда ( см. Hormander [1]); после этого обратное преобразование Фурье восстанавливает искомое фундаментальное решение. [45]