Cтраница 1
Функция множества ( х есть метрическая внешняя мера ( см. упр. [1]
Функции множества, обладающие свойством ( 11) при всех конечных п, называются аддитивными. Функции множества, обладающие свойством ( 11) при п оо, называются счетно-аддитивными или, короче, а-аддитив-ными или мерами. Любая а-аддитивная функция множества является аддитивной, однако не всякая аддитивная функция множества а-аддитивна. [2]
Функции множества, обладающие свойством (1.11) при всех конечных п, называются аддитивными. Функции множества, обладающие свойством (1.11) при п - оо, называются счетно-аддитивными или, короче, о-аддитивными или мерами. [3]
Функция множеств ц принимает только действительные и неотрицательные значения. [4]
Функция множеств ф определена на непустом классе множеств в пространстве Q, если каждому множеству AfG однозначно поставлено в соответствие конечное или бесконечное число ф ( Л), называемое значением функции ф а множестве А. Если все значения ф конечны, то мы будем говорить, что ф конечна, и будем писать ф оо. Если каждое множество в % является счетным объединением таких множеств из, для которых ф конечна, то ф называется а-конечной. Чтобы избежать тривиальных случаев, мы предположим, что каждая функция имеет по крайней мере одно конечное значение. [5]
Функция множеств ф, определенная на &, тогда и только тогда является неопределенным интегралом в пространстве с а-ко-нечной мерой от конечной функции X ( определенной с точностью до эквивалентности), когда ф а-конечна, о-аддитивна и - непрерывна -, при этом X интегрируема тогда и только тогда, когда Ф конечна. [6]
Функции множества, о которых шла речь в приведенных выше примерах, обладают свойством аддитивности: при сложении непересекающихся множеств они складываются. [7]
Функция множества ц, удовлетворяющая условию (3.3), называет -: функцией ограниченной вариации. [8]
Функция множества Hk, определенная равенством (8.3), называется внешней мерой Хаусдорфа. [9]
Чтобы функция множеств Я была а-аддитивной на, требуется выполнение дополнительных условий. [10]
Такая функция множества Р называется вероятностной мерой. Три свойства ( 2.9 - 11) отражают на математическом языке наши интуитивные представления о вероятностях: то, что невозможное событие 0 имеет нулевую вероятность, достоверное событие Q имеет вероятность, равную единице, и вероятность объединения взаимно исключающих событий получается ( разумеется, на интуитивном уровне) суммированием вероятностей отдельных событий. Третье условие требует, чтобы это свойство сохранялось и для счетного объединения взаимно исключающих событий. В конкретных приложениях мера Р, входящая в вероятностное пространство, получается либо с помощью априорных соображений, либо выводится из длинной серии испытаний, в которой определяется относительная частота события А. В частотной интерпретации вероятности существуют математические тонкости, в которые нам не хотелось бы здесь вдаваться. [11]
Если функции множества Е ограничены в совокупности, то Е компактно. [12]
Если функции множества М из С [ а, Ь ] равномерно ограничены и равностепенно непрерывны, то из всякой последовательности zn функций zn из М можно выделить подпоследовательность, равномерно сходящуюся к некоторой непрерывной на [ а, Ь ] функции. [13]
D функции множеств vc могут быть продолжены до вероятностной меры vc на cr - алгебре & ( с), полученной пополнением а-алгебры, порожденной цилиндрическими множествами. [14]
Пусть равномерно ограниченные а-аддитивные функции множеств фп, определенные на - , согласованы. [15]