Cтраница 1
Функции Радемахера являются классическим примером стохастически независимой системы. [1]
Функции Радемахера, рассмотренные им в 1922 г. [4], представляют собой неполную систему ортонормированных функций. [2]
Функции Радемахера ортогональны и нормированы, но не образуют полную систему, поскольку существуют и другие функции, ортогональные функциям Радемахера. Для полных же систем нельзя подобрать ни одну функцию, которая была бы ортогональна одновременно ко всем функциям системы. Дополнением системы Радемахера за счет функций, образованных всевозможными про-изведениями функций Радемахера, можно построить полные - системы Уолша с различными способами упорядочения. [3]
VIII) функций Радемахера следует, что ( уо) расходится. [4]
Раде-махером, называются функциями Радемахера. [5]
Раде-махером, называются функциями Радемахера. [6]
В настоящей главе были рассмотрены функции Радемахера, Уолша и Хаара. Было введено понятие частости в качестве параметра, позволяющего различать отдельные функции, принадлежащие системам несинусоидальных функций. Показано, что функции Уолша могут быть упорядочены по Уолшу, Пэли и Ада-мару. Упорядоченные таким образом системы функций Уолша связаны между собой кодом Грея. [7]
В соответствии с (14.26) и (14.27) функции Радемахера, принимающие одно из двух значений 1, имеют вид меандра. [8]
Эти соотношения между теоремами о системе функций Радемахера и проблемой игры в герб и решетку могут служить примером того, как теория ортогональных функций используется в теории вероятностей и обратно. Между этими двумя теориями имеется много других общих точек соприкосновения, и впоследствии мы еще будем возращаться к этой теме. [9]
Произведение целых степеней любого конечного числа функций Радемахера совпадает тождественно с некоторой функцией Уолша. [10]
Приводимые в этом примере ортонормирсванные системы функций Радемахера и Хаара интересны как для теории функций, так и для теории вероятностей. [11]
Применив усиленный закон больших чисел к последовательности функций Радемахера, мы придем к знаменитой теореме Бореля о нормаль-ных числах: почти все числа единичного интервала разлагаются в двоичные дроби, содержащие одинаковое число нулей и единиц. Подобный же вывод справедлив для разложений в бесконечные дроби при любом основании г, отличном от 2 ( г - 3), и мы получаем, таким образом, теорему об абсолютно нормальных числах: почти все числа нормальны относительно всех оснований г одновременно. [12]
Функции Уолша могут также генерироваться как произведения функций Радемахера. Функции Радемахера обозначаются выражениями вида R ( n t), где п - целое, а полупериод функции равен Т / 2П; другими словами, в базовый период Т укладывается 2n - 1 полных циклов. Функция R ( 0 i) имеет постоянное единичное значение. В примерах рис. 7.10 функция sal ( l i) совпадает с функцией Радемахера, a cal ( 3 i) и sal ( 9 i) являются произведениями sal ( l i) и другой функции Радемахера. Целое п называется натуральным порядком функции Уолша. Произведение двух функций Уолша ( также функция Уолша) имеет натуральный порядок, равный сумме по модулю 2 ( сложение без переноса) двоичных натуральных порядков двух своих компонент. [13]
Примером удовлетворяющих указанному требованию кусочно-постоянных ортогональных функций являются функции Радемахера. [14]
В § 9 главы I было дано определение функций Радемахера. Сейчас мы докажем несколько теорем, касающихся этих функций, и применим их затем к изучению тригонометрических рядов. [15]