Cтраница 4
Функции Радемахера ортогональны и нормированы, но не образуют полную систему, поскольку существуют и другие функции, ортогональные функциям Радемахера. Для полных же систем нельзя подобрать ни одну функцию, которая была бы ортогональна одновременно ко всем функциям системы. Дополнением системы Радемахера за счет функций, образованных всевозможными про-изведениями функций Радемахера, можно построить полные - системы Уолша с различными способами упорядочения. [46]
Рассмотренная в § 7 главы / система Уолша юп ( х) является, очевидно, частным случаем W-систем. Отсюда и введено название W-систем. Системе Уолша соответствует случай / х ( с) х и рп ( х) гп ( ж), где гп ( х) - n - я функция Радемахера. Другие примеры сильно мультипликативных ортогональных систем и W-систем будут изучены в дальнейшем. [47]
Функции Уолша удобно характеризовать двумя - параметрами, связанными с двоичным представлением их номеров. Первый из них определяет максимальный номер ненулевого двоичного разряда числа а и называется порядком Р; второй - ранг функций Уолша R - показывает число двоичных разрядов, в которых число а имеет. Функции Радемахера, входящие в состав систем Уолша, являются функциями Уолша - Пэли первого ранга. [48]
Функции Уолша могут также генерироваться как произведения функций Радемахера. Функции Радемахера обозначаются выражениями вида R ( n t), где п - целое, а полупериод функции равен Т / 2П; другими словами, в базовый период Т укладывается 2n - 1 полных циклов. Функция R ( 0 i) имеет постоянное единичное значение. В примерах рис. 7.10 функция sal ( l i) совпадает с функцией Радемахера, a cal ( 3 i) и sal ( 9 i) являются произведениями sal ( l i) и другой функции Радемахера. Целое п называется натуральным порядком функции Уолша. Произведение двух функций Уолша ( также функция Уолша) имеет натуральный порядок, равный сумме по модулю 2 ( сложение без переноса) двоичных натуральных порядков двух своих компонент. [49]