Cтраница 3
Итак, каждая функция Уолша wal ( w, 0), входящая в систему из N 2 функций, является произведением степеней первых п функций Радемахера. [31]
Принимая во внимание 1.6.1, из 1.7.4 можно заключить, что ряд Радемахера спгп ( х) представляет собой разложение L-интегрируемой функции ( ( х) по пополненной системе функций Радемахера тогда и только тогда, когда f ( x) не только L -, но также и Ь2 - интегрируема. В самом Деле, ряд JT спгп ( х) можно выразить через соответствующий ряд Хаара, который, в силу 1.6.1, сходится к / ( ж) почти всюду. [32]
На этот раз мы не можем использовать направляющих углов для усреднения [ см. лемму (2.10) ]; однако для нас будет достаточным менее точный результат, полученный при помощи функций Радемахера. [33]
Тот факт, что вероятность выигрыша при игре в герб и решетку можно однозначно сопоставить с множеством значений функций Радемахера, дает возможность перевести ряд теорем теории вероятностей в термины функций Радемахера. Например, теорема Кантелли гласит, что при игре в герб и решетку со ставкой 1 средний выигрыш с вероятностью 1 стремится к нулю. [34]
Переключательную функцию (2.9.2) можно упростить ( и тем самым сократить объем аппаратуры при реализации ГФУ), если учесть, что функции Уолша с номерами а, двоичные разложения которых отличаются на одну двоичную единицу, в своем представлении через функции Радемахера будут отличаться только одной функцией Радемахера. [35]
Действительно, если бы это условие не выполнялось, то по теореме 1.7.4 ряд ( 24) был бы почти всюду расходящимся, например, для рп ( х) гп ( х), где гп ( х) - функции Радемахера. [36]
Каждая непрерывная функция Уолша совпадает с кусочно-но-стоянной огибающей соответствующей дискретной функции Уолша, поэтому генерирование непрерывных и дискретных функций Уолша можно выполнить на одних и тех же ГФУ При этом ГФУ параллельного типа можно построить, используя выражение функций Уолша через функции Радемахера. Синтез устройств генерирования значительно упрощается при наличии переключательных функций, описывающих их работу. [37]
Иначе говоря, порядок функции Уолша, полученной в результате перемножения функций Уолша порядков / и у, равен поразрядной Сумме по модулю 2 двоичных значений индексов / и / Свойство мультипликативности позволяет построить простую логическую схему для генерации всего ансамбля функций Уолша, перемножая функции Радемахера. [38]
Переключательную функцию (2.9.2) можно упростить ( и тем самым сократить объем аппаратуры при реализации ГФУ), если учесть, что функции Уолша с номерами а, двоичные разложения которых отличаются на одну двоичную единицу, в своем представлении через функции Радемахера будут отличаться только одной функцией Радемахера. [39]
Функции Уолша могут также генерироваться как произведения функций Радемахера. Функции Радемахера обозначаются выражениями вида R ( n t), где п - целое, а полупериод функции равен Т / 2П; другими словами, в базовый период Т укладывается 2n - 1 полных циклов. Функция R ( 0 i) имеет постоянное единичное значение. В примерах рис. 7.10 функция sal ( l i) совпадает с функцией Радемахера, a cal ( 3 i) и sal ( 9 i) являются произведениями sal ( l i) и другой функции Радемахера. Целое п называется натуральным порядком функции Уолша. Произведение двух функций Уолша ( также функция Уолша) имеет натуральный порядок, равный сумме по модулю 2 ( сложение без переноса) двоичных натуральных порядков двух своих компонент. [40]
Те функции Уолша, которые на своем периоде оказываются периодическими меандровыми колебаниями, называются функциями Радемахера. Все функции Радемахера генерируются триг-герными делителями частоты следования импульсов задающего генератора. [41]
Существуют различные способы определения функций Уолша. Рассмотрим способ, основанный на взаимосвязи функций Уолша с функциями Радемахера. [42]
Реализация модуляции фазы в решетке из па антенн требует па взаимно ортогональных двухуровневых функций. Наборы прямоугольных функций с частотами, пропорциональными целым степеням двойки ( функции Радемахера), ортогональны при тог, равном периоду наименьшей ненулевой частоты набора. Кратчайший интервал времени между переходами модулирующих функций TSW равен половине периода самой высокочастотной функции. С аппаратной точки зрения целесообразно, чтобы отношение ror / rsw не превышало примерно двух порядков величины. Прямоугольные функции одной частоты будут ортогональны, если их фазы сдвинуты по времени на четверть периода. [43]
Когда синус положителен ( отрицателен, обращается в нуль), значение функции Радемахера равно 1 ( соответственно, - 1 и 0) ( см. [616], I, с. Естественным обобщением функции Вейерштрасса является ряд, п-й член которого представляет собой произведение wn на гг-ю функцию Радемахера. [44]
Теперь доказанную выше теорему 3.2.1 мы применим к теории суммирования классов ортогональных рядов, являющихся обобщением рядов Радемахера-Уолша. С этой целью мы обобщим установленное в § 7 гл. I свойство функций Радемахера, состоящее в том, что конечные произведения этих функций также образуют ортонормированную систему. [45]