Cтраница 3
В теории коалиционных игр N лиц предполагается, что выигрыши ( значения функций выигрыша) переносимы от одного игрока другому, что позволяет игрокам производить между собой побочные платежи за какие-нибудь виды сотрудничества. [31]
Если ограничиться играми с конечным числом окончательных позиций, то взаимная однозначность функций выигрыша Hi становится в известной мере типичным невырожденным случаем ( ни один игрок не должен одинаково оценивать две различные окончательные позиции), а коль скоро взаимная однозначность имеет место, для локально конечных игр с дискретными выигрышами получаются следующие утверждения. [32]
Поскольку F x - 2 0, a Fy y 4 0, то функция выигрыша F ( x, у) является вогнуто-выпуклой, и, следовательно, имеет решение в чистых стратегиях. [33]
Можно, например, оптимальной ситуацией считать такую, на которой одновременно достигают своих максимумов функции выигрыша каждого из игроков. [34]
Интервалы значений расходов ресурсов сторон на реализацию стратегий конфликтного взаимодействия, а также интервалы значений функций выигрыша можно нормировать, как это принято в игровых задачах, к безразмерной единице. Такая нормировка не меняет основных свойств решения, лишь заменяя реальные игры стратегически эквивалентными. [35]
Здесь Ъ2Н ( х, у) 1Ъу2 2 0, так что игра с функцией выигрыша (16.4) является строго выпуклой. [36]
Помимо описанной в § 6 внутренней ( естественной) топологии, порождаемой на пространствах стратегий игроков функцией выигрыша, на этих множествах может быть ( через метрику или как-либо иначе) априори определена еще и некоторая исходная, внешняя по отношению к игре топология. Множество ситуаций оказьюается в этом случае декартовым произведением топологических пространств и тем самым - тоже топологическим пространством. Наличие у функции выигрыша тех или иных топологических свойств ( например, непрерывности) может предопределять некоторые полезные особенности внутренней топологии. Это обстоятельство представляется важным потому, что свойства внешней топологии обнаруживаются более непосредственным образом, чем свойства топологии внутренней ( ср. [37]
Из большого числа исследуемых в теории игр моделей позиционные игры выделяются далеко идущей конкретизацией понятий стратегии и функции выигрыша. В то время как в общем случае стратегия рассматривается всего лишь как элемент некоторого множества, лишенный какой-либо внутренней структуры, а выигрыш каждого игрока определяется на декартовом произведении всех множеств стратегий, позиционные игры менее абстрактны. Результатом выбора стратегий игроками является определенная последовательность ( или партия) в некотором множестве позиций. Выигрыш каждого игрока является функцией этой последовательности. Правила, определяющие партию по заданным стратегиям, и зависимость выигрышей от партии дают возможность классифицировать позиционные игры. [38]
Для произвольных точек спектра оптимальной стратегии свойство дополняющей нежесткости имеет место лишь в том случае, когда функция выигрыша обладает свойством непрерывности, хотя бы ограниченным. [39]
Модифицируя эти рассуждения, можно без труда показать, что игры на единичном квадрате, в которых функция выигрыша Н терпит разрывы лишь вдоль конечного числа отрезков вида х - const или у - const, являются вполне ограниченными, и их решение напоминает решение непрерывных игр. [40]
Ясно, что нужные свойства пространства стратегии в условиях слабой топологии достигаются при более широких условиях относительно функции выигрыша, чем в условиях естественной топологии. Поэтому рассмотрение слабой топологии приводит к более сильным утверждениям. В частности, Карлином доказывается полная определенность игры на единичном квадрате, если точки разрыва функции выигрыша заполняют всю диагональ. [41]
Игр теория) сводится к заданию множеств стратегий А и В соответственно игроков I и II и функции выигрыша Н игрока I, определенной на множестве всех ситуаций АХВ ( функция выигрыша игрока II равна, по определению А. Процесс разыгрывания игры Г состоит в выборе игроками нек-рых своих стратегий а. [42]
Теорема 4.1.4. Пусть sl и s2 - две глобальные СРВ локально конечной терминальной игры, в которой функции выигрыша HI каждого игрока являются взаимно однозначными. [43]
В дальнейшем теоремы о существовании значения игры ( теоремы о минимаксах) были доказаны при более слабых предположениях относительно функции выигрыша. Из общих теорем о минимаксах следует, напр. Доказаны теоремы существования значения игры для нек-рых специальных классов разрывных функций выигрыша ( напр. [44]
Однако все эти стратегии имеют равные 1 - е компоненты, а только они и участвуют в выражении для функции выигрыша. [45]