Cтраница 1
Продолженная функция Ф ( г, К, К) отображает Сг с разрезом по круговой дуге Q ( A /, К) на плоскость С. [1]
Продолженная функция ( сохраним для нее обозначение cp ( z)) голоморфна во всей плоскости z с разрезом по положительной части действительной оси и конформно отображает эту плоскость с разрезом на область G. [2]
Продолженная функция в нуле гармоническая и, следовательно, гладкая. Но гладкая в нуле однородная функция степени k - обязательно однородный многочлен степени k ( причем k обязательно целое неотрицательное) - это видно из формулы Тейлора. Итак, любая сферическая функция продолжается до однородного гармонического во всем пространстве многочлена. [3]
Продолженная функция ( сохраним для нее обозначение ф ( z)) регулярна во всей плоскости z с разрезом по положительной части действительной оси и конформно отображает эту плоскость с разрезом на область О. [4]
Продолженная функция и оказывается ограниченной и гармонической вне совокупности отрезков ( aft, & й), a на этих отрезках она принимает значения, равные нулю. Таким образом, функция и решает задачу Дирихле для плоскости с выброшенными отрезками ( йй, 6Й) при нулевых граничных значениях. [5]
Так продолженная функция в силу теоремы § 84 может быть представлена в отрезке ( а, а - - 2тс) равномерно сходящимся рядом, сумма которого в отрезке ( а, а - - X), очевидно, совпадает с данной функцией f ( x), чем и решается поставленная задача. По этому поводу интересно еще только заметить, что в случае Х 2тг продолжение функции f ( x) на весь отрезок ( а, а - - 2тг), возможное бесконечным множеством различных способов, тем самым будет давать для исходной функции бесконечное множество различных рядов Фурье. Таким образом, в отрезке длины 2тг функция, вообще говоря, может быть представлена бесчисленным множеством различных между собой тригонометрических рядов. [6]
Продолженные функции ху и х 1 определяют в Gd структуру группы. [7]
При этом продолженная функция обозначается тем же символом, что и исходная продолжаемая функция. [8]
При этом продолженные функции в этих случаях обозначаются теми же символами, что и исходные продолжаемые функции. [9]
Выясним, при каких условиях продолженная функция также имеет непрерывную вторую производную на всей числовой прямой. [10]
Константы в соответствующих неравенствах для сеточных и продолженных функций одинаковы. [11]
Иначе говоря, мы доказали, что продолженная функция f равномерно непрерывна на А. Но тогда она непрерывна в любой точке А. [12]
Далее f ( x) рассматривается как периодически продолженная функция. [13]
Лишь тогда будут обеспечены непрерывность и существование последовательных производных для периодически продолженной функции, а вместе с тем и справедливость установленных выше оценок. [14]
Продолжим функцию и нулем вне G, и пусть и - продолженная функция. [15]