Cтраница 2
По теоремам 4 и 5 функция v2 также есть верхняя функция. [16]
По теоремам 4 и 5 функция у2 также есть верхняя функция. [17]
К 0 функция К t - to 7 является верхней функцией. [18]
Докажем, например, что функция ф ( Я) есть верхняя функция. [19]
При этом выше нижней функции всегда оказывается наименьшее решение, а ниже верхней функции - наибольшее. Единственность решения, вообще говоря, не имеет места. [20]
Если v есть верхняя функция, то ( v) K есть также верхняя функция. [21]
В частности, ограниченное обобщенное решение задачи (1.1), (1.2) является одновременно и нижней и верхней функцией. [22]
Если у есть верхняя функция, то 9& к ( У) есть также верхняя функция. [23]
Затем внутри В определяется функция и ( х, t) как точная нижняя граница значений всех верхних функций. Можно показать, что эта функция удовлетворяет уравнению ( 111) [ ср. [24]
Ясно, что это семейство непусто, потому что всякая постоянная С; sup / уже является верхней функцией. Определим значение функции и в точке Р как нижнюю границу значений в этой точке всех верхних функций. Мы докажем, что функция и является гармонической внутри G и удовлетворяет неравенствам ( 1) в тех граничных точках этой области, где выполняются некоторые условия, о которых мы скажем после. Предварительно нам надо будет доказать несколько свойств супергармонических и верхних функций. [25]
Если это множество с вероятностью, равной единице, конечно, то назовем / ( л) верхней функцией последовательности ( 1.7: 1), если же оно с вероятностью, равной единице, бесконечно, - нижней функцией. [26]
При а 0 рассмотрим функцию икр сто и покажем, что при достаточно алом а эта функция окажется верхней функцией задачи (4.1) при К Акр а, что, очевидно, невозможно по определению Я кр. [27]
Согласно определению точной нижней границы для каждой точки М0, лежащей внутри В, существует такая последовательность fyn ( M) верхних функций, что и ( Ж0) - и ( Ж0) при - оо. Для разных точек Ж0 последовательности tyn ( M) могут быть разными. [28]
Действительно, ( ul - u2 - е) / ( - е) отрицательна вне Ii, в то время как верхняя функция неотрицательна; внутри В величина ( ul - - - - иг - е) / 1 ( М - е) не превосходит верхней функции по принципу максимума. [29]
Поскольку и ( х) - - 0 при выполнении (1.2) является нижней функцией задачи (1.1), то такое решение будет существовать при наличии неотрицательной верхней функции. [30]