Cтраница 4
Вышедшая в 1928 г. статья Некоторые замечания к работам О. Она посвящена одной из основных задач математической физики - задаче Дирихле для уравнения Лапласа. Перрона и Л. А. Люстерника, в которых были предложены новые методы решения задачи Дирихле: метод верхних функций и метод конечных разностей. В работе И. Г. Петровского проводится сравнение решений, полученных этими методами. [46]
Метод Пуанкаре-Перрона состоит в следующем. Для заданной ограниченной области G и заданной на ее границе непрерывной функции / мы определяем семейство всех верх - них функций. Ясно, что это семейство не иусто, потому что всякая постоянная e sup / уже является верхней функцией. Определим значение функции и в точке Р, принадлежащей G, как нижнюю грань значений в этой точке всех верхних функций. Мы докажем, что функция и является гармонической внутри G, принимает заданные значения / и непрерывна в тех граничных точках этой области, где выполняются некоторые условия, о которых мы скажем ниже / Предварительно нам надо будет доказать несколько свойств супергармонических и верхних функций. [47]