Cтраница 3
Через ыкр ( х) обозначим минимальное положительное ограниченное решение задачи (4.1) при Я, Я Кр - Очевидно, икр ( х) является верхней функцией задачи (4.1) при ККкр. [31]
При достаточно малых К имеем Ka ( x) F ( u0 ( x)) 1, поэтому, очевидно, и0 ( х) является верхней функцией задачи (1.1) при таких Я. [32]
CcoQ ( P), если только С выбрано достаточно большим, будет нижней функцией, а функция г 5 ( Р) - / ( ()) - f - е - г CCOQ ( Р) будет верхней функцией. [33]
Действительно, ( ul - u2 - е) / ( - е) отрицательна вне Ii, в то время как верхняя функция неотрицательна; внутри В величина ( ul - - - - иг - е) / 1 ( М - е) не превосходит верхней функции по принципу максимума. [34]
К сходится равномерно к v, то zn ( Р) при достаточно большом п отличается как угодно мало от значения в точке Р функции RKl ( min ( z, v)), которое меньше чем v ( Р), равное и ( Р), что, однако, противоречит предположению, что и есть нижняя граница всех верхних функций. [35]
Пусть теперь выполнено неравенство Ф () Р и пусть о ( г) - положительное решение задачи (1.8) при некотором ЯЯкр - Положим ( х) о ( г ( д)), где г ( х) определена формулой (1.4) Подставляя и ( х) в (1.1) и учитывая (1.8) и неравенство Фа ( д:) р, легко убедиться, что и ( х) есть верхняя функция задачи (1.1) при том же значении К. [36]
A) - нижние функции, то и функция ф ( 4), определяемая формулой ( 58), также нижняя функция. Множество значений всевозможных верхних функций Х / ( 4) в любой фиксированной точке А, лежащей внутри Д имеет точную нижнюю границу и ( А), причем а и ( А) Ъ и функция и ( А) гармоническая. Если со непрерывна, то такая верхняя граница нижних функций совпадает с и ( А), которая является решением ( обобщенным) исходной внутренней краевой задачи Дирихле. [37]
Совершенно очевидно, что нижние функции ограничены сверху некоторым числом, а верхние ограничены снизу. Совершенно аналогично для любой верхней функции ( М) а. Это будет некоторая функция, определенная внутри В. [38]
В частности, верхней функцией называется всякая суперпараболическая функция, которая на / имеет значения заданных предельных значений. [39]
Радиус сходимости ряда снова обозначим гь. Если обозначить через B ( z) верхнюю функцию, ассоциированную по Борелю с функцией b ( z), то, как мы выяснили в 1.1, ее тип будет равен гь. [40]
Ясно, что это семейство непусто, потому что всякая постоянная С; sup / уже является верхней функцией. Определим значение функции и в точке Р как нижнюю границу значений в этой точке всех верхних функций. Мы докажем, что функция и является гармонической внутри G и удовлетворяет неравенствам ( 1) в тех граничных точках этой области, где выполняются некоторые условия, о которых мы скажем после. Предварительно нам надо будет доказать несколько свойств супергармонических и верхних функций. [41]
Вопрос об условиях применимости закона повторного логарифма еще не исчерпан до конца. Наряду с расширением условий применимости, различными иностранными авторами было потрачено много труда на усиление этого закона в направлении еще более точного разграничения верхних функций от нижних. [42]
Метод Пуанкаре-Перрона состоит в следующем. Для заданной ограниченной области G и заданной на ее границе непрерывной функции / мы определяем семейство всех верх - них функций. Ясно, что это семейство не иусто, потому что всякая постоянная e sup / уже является верхней функцией. Определим значение функции и в точке Р, принадлежащей G, как нижнюю грань значений в этой точке всех верхних функций. Мы докажем, что функция и является гармонической внутри G, принимает заданные значения / и непрерывна в тех граничных точках этой области, где выполняются некоторые условия, о которых мы скажем ниже / Предварительно нам надо будет доказать несколько свойств супергармонических и верхних функций. [43]
Ясно, что это семейство непусто, потому что всякая постоянная С; sup / уже является верхней функцией. Определим значение функции и в точке Р как нижнюю границу значений в этой точке всех верхних функций. Мы докажем, что функция и является гармонической внутри G и удовлетворяет неравенствам ( 1) в тех граничных точках этой области, где выполняются некоторые условия, о которых мы скажем после. Предварительно нам надо будет доказать несколько свойств супергармонических и верхних функций. [44]
Метод Пуанкаре-Перрона состоит в следующем. Для заданной ограниченной области G и заданной на ее границе непрерывной функции / мы определяем семейство всех верх - них функций. Ясно, что это семейство не иусто, потому что всякая постоянная e sup / уже является верхней функцией. Определим значение функции и в точке Р, принадлежащей G, как нижнюю грань значений в этой точке всех верхних функций. Мы докажем, что функция и является гармонической внутри G, принимает заданные значения / и непрерывна в тех граничных точках этой области, где выполняются некоторые условия, о которых мы скажем ниже / Предварительно нам надо будет доказать несколько свойств супергармонических и верхних функций. [45]