Cтраница 3
ЛОГАРИФМИЧЕСКИ СУБГ АРМОНИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ - положительная функция и ( х) в области евклидова пространства R, 2, логарифм к-рой logu ( x) является субгармонической функцией. При ni им соответствуют логарифмически выпуклые функции. [31]
Развивая идеи Граве, он в своей первой монографии ( 115) выяснил связь, существующую между теорией проекций, удовлетворяющих теореме Чебышева, и современной теорией субгармонических функций. [32]
Отметим без доказательства следующее утвер ждение: если непрерывная функция w такова, что Д ( ( Д - лапласиан в смысле И. И. Привалова), то w - гармоническая функция ( И. И. Привалов, Субгармонические функции, гл. [33]
В доказываемых теоремах используется, собственно, не регулярность функции f ( z), а только субгармоничность функции 1п / ( 2), так что при желании эти теоремы легко переносятся на субгармонические функции. [34]
D комплексного пространства С: д 1, удовлетворяющая следующим условиям: 1) и ( z) полунепрерывна сверху всюду в D; 2) и ( za - - - ka) есть субгармоническая функция переменного К. [35]
В доказываемых теоремах используется, собственно, по голоморфность функции / ( z), а только субгармоничность функции In l / ( z) l, так что при желании эти теоремы легко переносятся на субгармонические функции. [36]
Если функция f ( M) - гармоническая функция внутри В, то для всякой точки внутри В в формуле ( 172) имеет место знак равенства [ II; 194 ], и таким образом гармоническая функция есть частный случай субгармонической функции. Определение может быть непосредственно обобщено и на трехмерный случай, только окружности мы должны заменить сферами. Совершенно аналогично определяется супергармоническая функция. [37]
D, если это имеет место при z на границе D. Именно это свойство субгармонических функций послужило причиной их названия. [38]
Изложение теории субгармонических функций имеется в большинстве кипг по теории аналитических функций. Книги [19, 29] посвящены специально субгармоническим функциям. [39]
Во всем дальнейшем мы будем рассматривать только такие супергармонические и субгармонические функции, которые непрерывны внутри G и на ее границе. Поэтому, говоря о супер - и субгармонических функциях, мы будем предполагать их непрерывными внутри и на границе G, не оговаривая этого особо. [40]
В этом определении среднее по окружности можно заменить средним по площади круга. Не имея возможности охарактеризовать здесь все многообразные результаты И. И. Привалова в теории субгармонических функций, мы отсылаем читателя к двум его монографиям [38,56], из которых пер вая дает построение общей теории субгармонических функций с ее различными приложениями, а вторая специально останавливается на приложении теории к исследованию граничных свойств аналитических функций. [41]
Теория гармонических и субгармонических функций играет существенную роль в получении различных тонких оценок для аналитических функций. Эти оценки основаны на том, что логарифм модуля голоморфной функции представляет собой субгармоническую функцию. Эта глава посвящена изучению гармонических и субгармонических функций и приложениям полученных для них результатов к аналитическим функциям. [42]
Кроме того, из определения непосредственно вытекает, что конечная сумма субгармонических функций есть субгармоническая функция, и конечная сумма супергармонических функций есть супергармонкческая функция. [43]
Однако вскоре оказалась, что предположение о непрерывности вторых производных излишне ограничительно, так как в отличие от гармонических функций субгармонические функции отнюдь не обязаны быть бесконечно дифференцируемыми внутри области их субгармоничности. Естественный путь обобщения понятия состоял в том, чтобы рассматривать функции, полученные из дважды непрерывно дифференцируемых субгармонических функций тем или иным предельным переходом. Еще один путь состоит в том, чтобы определить субгармонические функции некоторым характерным их свойством. [44]
Ci вполне регулярного роста, для которых в ( 15) существует обычный предел, кроме некоторого исключительного множества. Rm исключительные множества ( определение ( 13) является обобщением его определения) и на его основе определил субгармонические функции вполне регулярного роста. [45]