Cтраница 3
Первой трудностью, встречающейся при попытке определения объема или меры функционального поля или множества, является то, что он должен быть аддитивной функцией множества. [31]
Мы покажем, что эта алгебра всех сверток, действующих в § ( независимо от того, определяем ли мы их как ограниченные аддитивные функции множества, как счетно аддитивные функции множества, как обычный интеграл Лебега, как главное значение интеграла или как любой другой несобственный интеграл), является Б - алгеброй, которая - эквивалентна В - алгебре s4 L o ( RN, 2, ds), где Е есть а-поле измеримых по Лебегу множеств, a ds - мера Лебега. Иногда оказывается удобным рассматривать основное пространство предыдущего параграфа как одноточечную компактификацию RN, получающуюся добавлением одной точки оо. [32]
Подобно тому как поведение одномерной случайной величины можно характеризовать не только посредством функции распределения, но и другими способами, многомерные случайные величины могут быть определены, скажем, посредством неотрицательной вполне аддитивной функции множества Ф ( Е, определенной для любых борелевских множеств n - мерного пространства. Этот способ вероятностной характеристики n - мерной случайной величины следует признать наиболее естественным и с точки зрения теоретической наиболее удачным. [33]
В силу теоремы о продолжении достаточно доказать, что Рт а-аддитивна на т - А для этого в силу очевидной конечной аддитивности Рт на & т достаточно доказать ее непрерывность в 0 и воспользоваться теоремой непрерывности аддитивных функций множеств. Мы докажем противоположное утверждение: каково бы ни было е 0, любая невозрастающая последовательность Ап А множеств из т, удовлетворяющих неравенству РтЛп е для каждого л, имеет непустое предельное множество А. [34]
В рамках аксиоматики теории вероятностей основой вероятностной модели нек-рого эксперимента служит вероятностное пространство ( G, А, Р), где Q - пространство элементарных событий ( множество исходов данного эксперимента), А - а-алгебра подмножеств Q, Р - вероятность, определенная для элементов класса А как неотрицательная, нормированная, аддитивная функция множества. Q, являющиеся элементами класса с. СЛУЧАЙНЫЕ ЧИСЛА - числа, которые могут рассматриваться как значения независимых одинаково распределенных случайны величин. Как правило, имеются в ниду значения случайных величин с равномерным распределением в промежутке ( О, 1) или приближения к таким значениям, имеющие конечное число цифр в своем представлении. [35]
В теореме Радона - Никодима можно ослабить требования, накладываемые на функцию v, и допустить, что она лишь о-конечна. Определение о-конечности для аддитивной функции множества со значениями любого знака формулируется так же, как и для меры ( см. IV. В этом случае определение абсолютной непрерывности функции v следует давать во второй форме, указанной в предыдущем параграфе. [36]
В этой главе мы рассмотрим обобщение интеграла Лебега, введенное австрийским математиком И. Предварительно дадим некоторые дополнения к тем сведениям об аддитивных функциях множества, которые были изложены в IV. Во всей этой главе конечно-аддитивные функции будем называть просто аддитивными. [37]
Сделав это, мы установили бы, что всякая абсолютно непрерывная и аддитивная функция множества является неопределенным интегралом своей симметричной производной. [38]
В частности, само g соответствует достоверному событию, а пустое множество из g - невозможному событию. Вероятности Р Е могут рассматриваться при этом как значения некоторой аддитивной функции множества, вероятностной функции, определяющей распределение вероятностей в пространстве выборок. [39]
Приводимые результаты о пространстве М ( Т) аналогичны теореме 4.21.2. Они принадлежат Дьедонне [14] и Г роте н-дику [ 4, стр. Об аналогичных работах, относящихся к пространствам конечно аддитивных и счетно аддитивных функций множества, см. Данфорд и Шварц [ 1, стр. [40]
Обратно, задание поверхностной функции как функции множеств на единичной сфере равносильно заданию гауссовой кривизны как функции внешней нормали. Отсюда получается естественное обобщение проблемы: при каких условиях заданная на единичной гиперсфере неотрицательная вполне аддитивная функция множеств а может быть поверхностной функцией некоторой выпуклой гиперповерхности. [41]
Существует большое число работ, посвященных современной теория интегрирования. Книга Валле-Пуссена дает прекрасное введение в теорию интеграла Лебега и содержит также несколько глав относительно аддитивных функций множества, в то время как другие две книги углубляются в более трудные части теории. [42]
Исходя из спектральной функции, можно определить операторную меру так же, как по вещественной монотонной функции определяется аддитивная функция множества. Если ф ( /) - характеристическая функция измеримого относительно операторной меры множества е, то ф ( U) есть значение операторной меры на е Ясен смысл ф ( 1 /) и в случае, когда ф ( t) - конечнозначная измеримая функция. [43]
Около 1900 г. Борелем и Лебегом была основана теория меры точечных множеств и последним было введено понятие интеграла, носящего его имя. Интеграл относительно неубывающей функции F ( x) был рассмотрен уже в 1894 г. Стиль-тьесом и в 1913 г. Радоном [205], исследовавшим свойства аддитивных функций множества и теорию интегрирования относительно таких функций. [44]
Без предпосылки о связности легко можно обойтись, однако ограничение многоугольными областями необходимо. Ибо в пространствах Финслера, даже при сильных условиях дифференцируемости как для метрики, так и для угловой меры ( или в римановых пространствах с угловыми мерами, отличными от римаповой), аддитивная функция множеств, определенная на множествах, допускающих симпли-циальное разложение, с помощью углового избытка, вообще говоря, не может быть продолжена до вполне аддитивной функции множеств, определенной на борелевых множествах. Полный избыток не может поэтому рассматриваться как интеграл. [45]