Cтраница 3
Докажем, что функции r rxz ( x y и r - ryz ( x y при отсутствии объемных сил являются сопряженными гармоническими функциями. [31]
Таким образом, вещественная и ( х, у) и мнимая v ( x, у) части аналитической функции есть сопряженные гармонические функции. [32]
В этом случае (1.90) не что иное, как система Коши - Римана, и, стало быть, ер и ф составляют пару сопряженных гармонических функций. [33]
Таким образом, как действительная, так и мнимая части любой аналитической функции ( производные которой зависят только от z) по отдельности являются решениями уравнения Лапласа. Функции аир называются сопряженными гармоническими функциями. [34]
Таким образом, как действительная, так и мнимая части любой аналитической функции ( производные которой зависят только от г) по отдельности являются решениями уравнения Лапласа. Функции аир называются сопряженными гармоническими функциями. [35]
Мы видим, что обе функции р и ф, вещественная и мнимая части функции комплексного переменного [ с ], удовлетворяют уравнению Лапласа. Две такие функции называются сопряженными гармоническими функциями. [36]
Предположим теперь, что функция / ( z, z0) неизвестна. Затем с помощью интегрирования восстанавливаем сопряженную гармоническую функцию F ( z); она находится с точностью до постоянного слагаемого ос. [37]
Задача о мембране приводит и к чисто математическим результатам. Таким образом, всякая гармоническая функция обладает сопряженной гармонической функцией. Явный вид функции v ( rt t) получится, если и ядро Пуассона Pr ( t) в формуле ( 12) мы заменим на сопряженную гармоническую функцию. [38]
Необходимо ввести определение еще одной комплексной функции. Это - сопряженная функция ( не путать с сопряженными гармоническими функциями), определяемая следующим образом. Если / ( z) - комплексная функция, то она может быть выражена как / ( z) а - - г Р, где аир - действительные числа. [39]
Необходимо ввести определение еще одной комплексной функции. Это - сопряженная функция ( не путать с сопряженными гармоническими функциями), определяемая следующим образом. Если / ( z) - комплексная функция, то она может быть выражена как / ( г) а ip где а и р - действительные числа. [40]
Эти пары связаны таким способом, который является обобщением связи сопряженных гармонических функций. Обе функции ср и ф удовлетворяют уравнению эллиптического типа. Если / ( у) 0, то каждая из функций 9 и ф удовлетворяет уравнению гиперболического типа. Проведем более подробное исследование некоторых свойств получаемых таким путем комплексных функций. [41]
Этот путь приводит к одновременному рассмотрению двух сопряженных гармонических функций и и v в области G, связанных уравнениями ( С. Построением теории аналитических функций, где отправным пунктом является пара сопряженных гармонических функций, занимался Риман. [42]
В силу условия б) функция и ( х, у) шляется гармонической. Поэтому соответствующая функция v ( x, у) может быть определена как сопряженная гармоническая функция. [43]
Гармонические функции и ( х, у) и v ( x, у), связанные между собой условиями Коши - Римана, называются сопряженными. Таким образом, действительная и мнимая части дифференцируемой в области функции являются в этой области сопряженными гармоническими функциями. [44]
Действительно, из принципа максимума субгармонической функции следует, что f ( z) M ( zeD), или f ( z) M. Но из равенства In / ( z) l In M следует, что и ( Сопряженная гармоническая функция arg / ( z) тоже постоянна. Обозначая arg / ( z) 0, приходим к нашему утверждению. [45]