Cтраница 4
Тогда ясно, что функция y ( z) U - - iV осуществляет квазиконформное отображение области D с постоянными характеристиками г0, Ро. То - Поэтому, если совершить аффинное преобразование tlu ( z ] с указанными характеристиками, то уравнения ( 8) примут форму уравнений Коши-Римана, и, следовательно, функция ср ( г) превратится в аналитическую функцию от t, а функции U, V превратятся в сопряженные гармонические функции. [46]
Функции ц, и, удовлетворяющие уравнениям ( 22), ( 22), называются гармоническими. Если гармонические функции связаны соотношениями ( 18), то они называются сопряженными. Таким образом, действительная и мнимая части аналитической функции суть сопряженные гармонические функции. [47]
Задача о мембране приводит и к чисто математическим результатам. Таким образом, всякая гармоническая функция обладает сопряженной гармонической функцией. Явный вид функции v ( rt t) получится, если и ядро Пуассона Pr ( t) в формуле ( 12) мы заменим на сопряженную гармоническую функцию. [48]
Видим, что функции и и v должны удовлетворять одному и тому же дифференциальному уравнению с частными производными второго порядка, называемому уравнением Лапласа. Функции, удовлетворяющие этому уравнению, называются гармоническими функциями. Таким образом, и и v должны быть гармоническими функциями. Однако гармонические функции и и v должны еще удовлетворять условиям Коши - Римана (1.39); такие две гармонические функции называются взаимно сопряженными. Итак, действительная и мнимая части аналитической функции являются сопряженными гармоническими функциями. [49]