Cтраница 1
Измеримая функция / называется существенно ограниченной, если найдется число m такое, что множество элементов х, для которых f ( х) т, имеет меру нуль. [1]
Измеримая функция f называется интегрируемой ( суммируемой), если существует равномерно сходящаяся к / последовательность fn простых интегрируемых функций. [2]
Измеримая функция интегрируема тогда и только тогдау когда интегрируема ее абсолютная величина. [3]
Измеримая функция g является на К пределом последовательности простых функций gn ( теор. [4]
Измеримые функции могут быть аппроксимированы простыми измеримыми функциями. [5]
Измеримые функции образуют векторное пространство. [6]
Измеримой функцией на ft мы называем класс эквивалентных измеримых функций, отличающихся друг от друга только на подмножестве меры нуль. Всякое точечное свойство приписывается измеримой функции, если оно имеет место в обычном смысле для некоторой функции в этом классе эквивалентности. Точной верхней и точной нижней гранями измеримой функции мы называем ее существенные точную врехнюю и точную нижнюю грани. [7]
Если измеримая функция f ограничена, то построенная в теореме 3 § 7 последовательность fn простых функций, равномерно сходящаяся к f, состоит из функций, принимающих конечное число значений. [8]
Всякая измеримая функция представляет собой предел последовательности обобщенно конечнозначных функций; при этом, если функция неотрицательна, то последовательность можно выбрать возрастающей. Если функция ограничена, то последовательность можно выбрать равномерно сходящейся. [9]
Поскольку измеримая функция определена только почти всюду, могут возникнуть некоторые проблемы, например, с понятием строго положительной функции. В связи с этим введем определение: неотрицательная измеримая функция / называется строго положительной на измеримом множестве А, если множество х А: f ( x) - 0 имеет меру нуль. [10]
Если измеримая функция f ( x) ограничена, то обе функции / ( х) и / ( х) также оказываются ограниченными, а потому новое определение интеграла для функции f ( x) приводится к данному ранее. [11]
Существует измеримая функция на RXR, существенно неограниченная на каждом измеримом прямоугольнике положительной меры. [12]
Всякая измеримая функция /, принимающая конечные или бесконечные действительные значения, представляет собой предел последовательности / п простых функций. В том случае, когда функция f неотрицательна, все fn можно выбрать неотрицательными, притом так, что последовательность fn будет возрастающей. [13]
Две измеримые функции имеют одинаковое распределение тогда и только тогда, когда их функции распределения совпадают ( см. упр. [14]
Всякая измеримая функция, за исключением, быть может, точек некоторого множества меры нуль, либо имеет асимптотическую производную, либо оба ее верхние производные числа равны со, а оба нижние - со соответственно по множествам, имеющим в данной точке верхнюю плотность, равную единице. [15]