Cтраница 3
Интегрируемость измеримой функции, заданной на множестве бесконечной меры, определяется, как и раньше, с помощью систем исчерпывающих множеств. [31]
Произведение измеримых функций измеримо. [32]
Определение измеримой функции, данное в самом начале этого параграфа, относится к функциям на произвольных множествах и в общем случае никак не связано с понятием непрерывной функции. [33]
Понятие измеримой функции зависит от двух о - алгебр: одна о-алгебра составлена из подмножеств того пространства. [34]
Для любой измеримой функции / существует равномерно сходящаяся к ней последовательность простых функций. [35]
Для вещественной измеримой функции / без ограничения знака полагают / тах ( /, 0), / - - min ( /, 0) и называют / суммируемой, если обе функции /, / суммируемы или, что эквивалентно, / суммируема. [36]
Для произвольной измеримой функции х интеграл определяем по формуле ( 3) с теми же соглашениями о его существовании, как и выше. [37]
Для произвольных измеримых функций эквивалентность вовсе не означает совпадения. [38]
Для ограниченной измеримой функции понятия точки Лебега и точки аппроксимативной непрерывности совпадают. [39]
Каждую измеримую функцию можно так аппроксимировать кусочно постоянной функцией, чтобы их интегралы сколь угодно мало отличались друг от друга. Таким образом, формула ( 11) справедлива для всех тех измеримых функций, для которых левая часть ( 11) вообще имеет смысл. [40]
Построить измеримую функцию, определенную на всей прямой, разрывную во всех ее точках и обладающую тем свойством, что, как бы ни изменять значения этой функции на любом множестве меры нуль, она остается разрывной во всех точках прямой. [41]
Произведение измеримых функции измеримо. [42]
К суперпозициопно измеримым функциям относятся не только функции, удовлетворяющие условиям Каратеодори. [43]
Так как измеримые функции являются почти всюду пределами таких непрерывных функций, то, собственно говоря, этот степенной ряд и есть уже универсальный ряд. [44]
Если бы измеримые функции обладали также асимптотической направленностью, они были бы, в силу вышеупомянутой теоремы А. Я. Хин чина, асимптотически дифференцируемы. Хин чин построил пример измеримой функции, которая может быть асимптотически направлена только на множестве меры нуль. [45]