Cтраница 1
Седловая функция вполне замкнута тогда и только тогда, когда она одновременно замкнута снизу и сверху. [1]
Седловые функции - это функции, являющиеся выпуклыми по одним и вогнутыми по другим переменным, и связанные с ними экстремальные задачи - это задачи на минимакс, а не просто задачи на минимум или максимум. Теорию таких минимаксных задач можно весьма далеко продвинуть, следуя тому же пути, что и в случае задачи минимизации выпуклых функций. Оказывается, что общая минимаксная задача для ( регулярной в некотором надлежащем смысле) седловой функции есть в точности лагранжева задача о седловой точке, связанная с некоторой обобщенной ( замкнутой) выпуклой программой. [2]
Теория седловых функций основывается на удивительной связи, существующей между седловыми функциями и выпуклыми бифунк-циями. [3]
Понятие сопряженной седловой функции выводится из свойств операции обращения для выпуклых бифункций, рассмотренной в предыдущем параграфе. Таким образом, операция обращения оказывается естественной основой для теории минимакса в такой же степени, как операция сопряжения выпуклых бифункций была естественно основой для теории двойственности выпуклых программ. [4]
Результаты относительно седловых функций, доказываемые в § 35 ( Непрерывность и дифференцируемость седловых функций), в основном являются аналогами или обобщениями результатов, полученных в § 10, 24 и 25 для выпуклых функций, и в дальнейшем изложении не используются. [5]
Всякую седловую функцию / С, эквивалентную нижней и верхней сопряженным данной седловой функции К, мы будем просто называть сопряженной с К - Таким образом, следствие 37.1.1 содержит описание преобразования сопряжения для седловых функций, симметричное и взаимно однозначное с точностью до эквивалентности. Постоянные седловые функции и - с замкнуты и сопряжены друг с другом. Поскольку не существует отличных от них замкнутых несобственных седловых функций, седловая функция, сопряженная с замкнутой собственной седловой функцией, обязана быть собственной. [6]
Следствие 34.2.2. Седловая функция, замкнутая снизу или сверху ( или вполне замкнутая), замкнута. [7]
В теории седловых функций ( как и в теории выпуклых или вогнутых функций) удобно рассматривать функции, всюду определенные, но принимающие, возможно, бесконечные значения. Однако в данном случае, по крайней мере с первого взгляда, ситуация не столь простая и ясная. [8]
Соответствие между седловыми функциями, установленное в теореме 37.1, можно рассматривать как обобщение операции сопряжения для выпуклых или вогнутых функций. [9]
Минимаксные задачи для седловых функций на Dlm x HI в действительности связаны не столько с конкретными функциями, сколько с классами эквивалентных седловых функций. [10]
Пусть / С - замкнутая седловая функция на lRm X 1R и L - седловая функция, эквивалентная / С. [11]
Они формулируются в терми-двойственности соответствующих седловых функций и операции для бифункций. [12]
Аналогичное утверждение верно для вогнуто-замкнутых седловых функций и замкнутых в образах вогнутых бифункций. В случае полиэдральной выпуклости связь между седловыми функциями и бифункциями становится несколько проще. [13]
Теорема 34.1. Если К - седловая функция на Ш х Я1П, то ее нижнее замыкание есть замкнутая снизу седловая функция, а верхнее замыкание - замкнутая сверху седловая функция. [14]
К - Ясно, что седловая функция, эквивалентная замкнутой, сама замкнута. [15]