Cтраница 3
В § 34 ( Замыкания и эквивалентные классы) исследуются некоторые операции замыкания для седловых функций, аналогичные соответствующим операциям для выпуклых функций. Показывается, что любая конечная седловая функция, определенная на произведении выпуклых множеств в Ш г X Ш, задает единственный класс эквивалентности замкнутых выпуклых функций, определенных на всем пространстве 31 X Ип. [31]
Теорема 34.1. Если К - седловая функция на Ш х Я1П, то ее нижнее замыкание есть замкнутая снизу седловая функция, а верхнее замыкание - замкнутая сверху седловая функция. [32]
Результаты § 24 - 26 в книге используются лишь в § 35, где аналогичные результаты доказываются для седловых функций. Оставшаяся часть этой главы носит замкнутый характер. [33]
Наоборот, задача о минимаксе замкнутой собственной седловой функции на 01 х Л соответствует некоторой задаче о минимаксе конечной седловой функции на произведении выпуклых множеств. [34]
Следствие 37.5.3. Пусть К - замкнутая собственная сед-ловая функция на П1т X 1КП и / ( принадлежит классу эквивалентных седловых функций, сопряженных с К. [35]
Минимаксные задачи для седловых функций на Dlm x HI в действительности связаны не столько с конкретными функциями, сколько с классами эквивалентных седловых функций. [36]
Таким образом, кофинитные выпуклые ( или вогнутые) бифунк-ции, действующие из Blm в 01П, находятся во взаимно однозначном соответствии с конечными седловыми функциями на. [37]
Простые нижнее и верхнее продолжения седловых конечных функций, определенных на множествах типа С X D, представляют собой наиболее важный для наших целей пример простых седловых функций. По теореме 34.3 всякая замкнутая собственная седловая функция проста. [38]
Теорема 34.1. Если К - седловая функция на Ш х Я1П, то ее нижнее замыкание есть замкнутая снизу седловая функция, а верхнее замыкание - замкнутая сверху седловая функция. [39]
Системы неравенств, нахождение минимумов или максимумов выпуклых функций на выпуклых множествах, множители Лагран-жа, теоремы о минимаксе, а также основные результаты относительно строения выпуклых множеств, непрерывности и дифферен-цируемости выпуклых и седловых функций - вот примерно тематика этой книги. Всюду особое внимание уделяется двойственности, в частности фенхелевской двойственности выпуклых функций. [40]
Всякую седловую функцию / С, эквивалентную нижней и верхней сопряженным данной седловой функции К, мы будем просто называть сопряженной с К - Таким образом, следствие 37.1.1 содержит описание преобразования сопряжения для седловых функций, симметричное и взаимно однозначное с точностью до эквивалентности. Постоянные седловые функции и - с замкнуты и сопряжены друг с другом. Поскольку не существует отличных от них замкнутых несобственных седловых функций, седловая функция, сопряженная с замкнутой собственной седловой функцией, обязана быть собственной. [41]
Всякую седловую функцию / С, эквивалентную нижней и верхней сопряженным данной седловой функции К, мы будем просто называть сопряженной с К - Таким образом, следствие 37.1.1 содержит описание преобразования сопряжения для седловых функций, симметричное и взаимно однозначное с точностью до эквивалентности. Постоянные седловые функции и - с замкнуты и сопряжены друг с другом. Поскольку не существует отличных от них замкнутых несобственных седловых функций, седловая функция, сопряженная с замкнутой собственной седловой функцией, обязана быть собственной. [42]
Соответствующая ей седловая функция билинейна. [43]
В § 34 ( Замыкания и эквивалентные классы) исследуются некоторые операции замыкания для седловых функций, аналогичные соответствующим операциям для выпуклых функций. Показывается, что любая конечная седловая функция, определенная на произведении выпуклых множеств в Ш г X Ш, задает единственный класс эквивалентности замкнутых выпуклых функций, определенных на всем пространстве 31 X Ип. [44]
В соответствии с теоремой 34.4 все функции, принадлежащие одному классу эквивалентности, имеют одно и то же ядро, и соответствие между классами эквивалентности и ядрами взаимно однозначно. Каждое ядро представляет собой конечную седловую функцию на произведении непустых относительно открытых выпуклых множеств. Является ли каждая такая функция ядром некоторого класса эквивалентных замкнутых собственных седловых функций. Ответ на этот вопрос положителен. [45]