Cтраница 2
Согласно следствию 37.4.1, субдифференциал седловой функции полностью определяется только классом эквивалентности, содержащим эту функцию. [16]
В диссертации Мак-Линдена впервые для седловых функций строится теория двойственности таких операций, как сложение, экстремальная конволюция и взятие образа при линейном отображении. Теория сопряженных эквивалентных классов замкнутых седловых функций была распространена Рокафелларом [29] на бесконечномерный случай, а в работах Госсеса [1] и Рокафеллара [24] рассматривались субдифференциалы таких функций. [17]
На самом деле всякий класс эквивалентных седловых функций устроен лишь немногим более сложно. [18]
Наоборот, задача о минимаксе замкнутой собственной седловой функции на 01 х Л соответствует некоторой задаче о минимаксе конечной седловой функции на произведении выпуклых множеств. [19]
Такая же связь существует между замкнутыми сверху седловыми функциями и замкнутыми вогнутыми бифункциями. [20]
Можно показать, наконец, что всякая седловая функция, эффективное множество которой имеет непустую внутренность, проста. [21]
Это несовпадение играет определяющую роль в теории седловых функций. [22]
Очень просто можно описать структуру некоторых классов эквивалентных седловых функций. [23]
Следствие 34.2.3. Не существует на Rm х R несобственных замкнутых седловых функций, отличных от функций, тождественных оо и - оо, причем последние не эквивалентны друг другу. [24]
Это соответствие будет сейчас продолжено до отношения эквивалентности среди замкнутых седловых функций, причем замкнутость будет пониматься в несколько более слабом смысле, чем замкнутость снизу и замкнутость сверху. Затем мы детально исследуем структуру замкнутых седловых функций. [25]
Теория седловых функций основывается на удивительной связи, существующей между седловыми функциями и выпуклыми бифунк-циями. [26]
Всякую седловую функцию / С, эквивалентную нижней и верхней сопряженным данной седловой функции К, мы будем просто называть сопряженной с К - Таким образом, следствие 37.1.1 содержит описание преобразования сопряжения для седловых функций, симметричное и взаимно однозначное с точностью до эквивалентности. Постоянные седловые функции и - с замкнуты и сопряжены друг с другом. Поскольку не существует отличных от них замкнутых несобственных седловых функций, седловая функция, сопряженная с замкнутой собственной седловой функцией, обязана быть собственной. [27]
Для описания общей структуры нижнего и верхнего замыканий полезно ввести понятие эффективного множества седловой функции. [28]
Результаты относительно седловых функций, доказываемые в § 35 ( Непрерывность и дифференцируемость седловых функций), в основном являются аналогами или обобщениями результатов, полученных в § 10, 24 и 25 для выпуклых функций, и в дальнейшем изложении не используются. [29]
Пусть / С - замкнутая седловая функция на lRm X 1R и L - седловая функция, эквивалентная / С. [30]