Cтраница 4
Простые нижнее и верхнее продолжения седловых конечных функций, определенных на множествах типа С X D, представляют собой наиболее важный для наших целей пример простых седловых функций. По теореме 34.3 всякая замкнутая собственная седловая функция проста. [46]
В диссертации Мак-Линдена впервые для седловых функций строится теория двойственности таких операций, как сложение, экстремальная конволюция и взятие образа при линейном отображении. Теория сопряженных эквивалентных классов замкнутых седловых функций была распространена Рокафелларом [29] на бесконечномерный случай, а в работах Госсеса [1] и Рокафеллара [24] рассматривались субдифференциалы таких функций. [47]
Если, однако, dom F Ф Ф 31 и dom F Ф 01, то, как только что было показано, ( Fu, х) и ( и, F x равны бесконечностям разных знаков при некотором выборе ( и, х) и для этих ( и, х) написанное выше равенство нарушается. Таким образом, класс вполне замкнутых седловых функций соответствует лишь специальному подклассу замкнутых бифунк-ций. Поэтому во многих случаях нужно более слабое понятие замкнутости. [48]
Тогда Q есть класс эквивалентных собственных замкнутых седловых функций. [49]
Это соответствие будет сейчас продолжено до отношения эквивалентности среди замкнутых седловых функций, причем замкнутость будет пониматься в несколько более слабом смысле, чем замкнутость снизу и замкнутость сверху. Затем мы детально исследуем структуру замкнутых седловых функций. [50]