Cтраница 3
С целью облегчения вычислений при выполнении практических расчетов балок на упругом основании в таблице 3.7 приводятся значения тригонометрических, гиперболических функций и функций Крылова при заданном аргументе. [31]
Формы собственных колебаний гибкого вала, вращающегося в подшипниках с зазорами, как это видно из решений ( 26), представляют собой пространственные кривые, содержащие тригонометрические и гиперболические функции. Оно является общим для любого вида закрепления концов гибкого ротора. Из этого уравнения получаются все известные частотные уравнения для частных случаев опирания гибкого ротора на подшипники. Корнями уравнения ( 20) являются величины / с - /, зависящие от квазиупругих коэффициентов / с ( и ки опор ротора. Эти коэффициенты, в свою очередь, определяются также изгибной деформацией вала. Определение кг и ки из уравнений ( 25) и подстановка их в уравнение ( 20), а затем решение частотного уравнения относительно / с / вызывает большие трудности и громоздкость. Однако значительные упрощения в решении частотного уравнения ( 20) достигаются при рассмотрении частных случаев опирания ротора на подшипники. [32]
Точное математическое решение задачи определения частот свободных поперечных колебаний многопролетной балки указанного типа приводит к сложному трансцендентному уравнению, в котором искомая частота входит в аргумент тригонометрических и гиперболических функций. [33]
Таким образом, функции sinz, cos z, shz, ch z от комплексного аргумента z x iy выражаются комплексными числами, которые определяются при помощи тригонометрических и гиперболических функций действительного аргумента. [34]
В дальнейшем изложении теории прямолинейной системы, линейной системы с шахматным размещением скважин, пяти-и девятиточечной систем будем пользоваться эллиптическими функциями Якоби sn г, en z, dn z ( соответственно эллиптические синус -, косинус - и дельта-функции), которые являются в определенном смысле обобщением тригонометрических и гиперболических функций. Эллиптические функции Якоби позволяют получить необходимые формулы в компактной и удобной форме. [35]
Эти частные решения имеют известные выражения ( обобщенные осесимметричные потенциалы): для степенных слоев h xn в общем случае через функции Бесселя порядка V2 ( п - 1), при целых четных п - через элементарные функции и при целых нечетных п - через эллиптические интегралы; для экспоненциальных слоев h ехр о; и их линейных комбинаций, в том числе тригонометрических и гиперболических функций, решения выражаются через функции Макдоналда. [36]
Тригонометрические и гиперболические функции представляют собой простые комбинации показательных, поэтому отображения, которые они реализуют, легко получить из результатов предыдущего пункта. Рассмотрим некоторые из таких отображений. [37]
Рассмотрим примеры конформных отображений тригонометрическими и гиперболическими функциями. [38]
Для моделирования степенных функций необходимо, чтобы коэффициент нелинейности во всем диапазоне изменения напряжения был постоянной величиной, численно равной показателю степени. Аналогичным образом были выбраны нелинейные комбинации для воспроизведения показательных, тригонометрических и гиперболических функций. [39]
Теорема сложения является основой для изучения свойств показательной, а также тригонометрических и гиперболических функций. [40]
Хотя в принципе описанная процедура довольно простая, тем не менее даже в этой простой системе не удается избежать трудностей вычислительного характера. Например, здесь необходимо вычислять определитель матрицы порядка: 8Х 8, элементами которой являются тригонометрические и гиперболические функции различных аргументов. Обычно это делается с помощью вычислительных машин по существу методом проб и ошибок. [41]
Представим себе, что все прочие граничные условия, кроме условий на свободной поверхности, допускают представление решения в виде агрегата, зависящего от некоторого количества параметров. Например, как следует из работы Бассета, колебание жидкости конечной постоянной глубины может быть описано некоторой комбинацией тригонометрических и гиперболических функций. Условие отсутствия нормальных напряжений на свободной границе дает некоторое трансцендентное уравнение, связывающее параметры волн и комплексное число о. Определив корни этого трансцендентного уравнения, мы получаем возможность полностью рассчитать движение жидкости. Подобная схема используется в ряде работ. В качестве наиболее типичной для этого направления укажем работу И. П. Оборотова ( 1960), в которой исследуются стоячие волны на поверхности жидкости конечной глубины. В последних работах решаются некоторые задачи типа Коши - Пуассона и вместо агрегата, зависящего от нескольких параметров, используется представление Фурье. Решение удается записать в явном виде в форме кратных интегралов Фурье, содержащих параметры. К этому же кругу идей относятся и многочисленные работы Л. В. Черкесова ( 1962 и др.), посвященные также проблеме возбуждения поверхностных волн. Итак, эта концепция, именуемая часто точной теорией волн в вязкой жидкости, сводит тем или иным способом задачу о линейных волнах к исследованию трансцендентных уравнений с комплексными корнями или вычислению кратных интегралов в комплексной области. По существу, имеет место некоторая переформулировка задачи, ибо непосредственно никакой информации из точного решения в форме интегралов для понимания физического содержания явления извлечь нельзя. [42]
К ( ип), а также В. П. Лысковым, который решал задачу в криволинейных координатах и получил форму ряда, отличающуюся от формы А. Н. Динника тем, что ряд представлен через тригонометрические и гиперболические функции. [43]
Таблица дает возможность получать значения тригонометрических показательных и гиперболических функций с пятью значащими цифрами. Для достижения большей точности в тех случаях, когда первые две значащие цифры образуют число, не превышающее 15, дается, как правило, шесть значащих цифр. Однако значения тригонометрических и гиперболических функций даны в таблице не более чем с пятью десятичными знаками. Если аргумент дан с пятью значащими цифрами, то см. [107] на стр. [44]
Таблица дает возможность получать значения тригонометрических, показательных и гиперболических функций с пятью значащими цифрами. Для достижения большей точности в тех случаях, когда первые две значащие цифры образуют число, не превышающее 15, дается, как правило, шесть значащих цифр. Однако значения тригонометрических и гиперболических функций даны в таблице не более чем с пятью десятичными знаками. Если аргумент дан с пятью значащими цифрами, то см. ( 155J на стр. [45]