Cтраница 3
Теория эллиптических функций при подробном изложении содержит весьма обширный формальный аппарат, которым и приходится пользоваться при приложении этих функций. К сожалению, не все авторы при изложении придерживаются одних и тех же обозначений. Мы излагаем лишь самые основы теории и не будем приводить многочисленных и часто весьма полезных формул, встречающихся в теории эллиптических функций. [31]
Вместо эллиптической функции Вейерштрасса % ( и) пользуются часто другими эллиптическими функциями, которые исторически появились раньше функций Вейерштрасса еще у Якоби. [32]
Под эллиптической функцией принято понимать всякую двоякопериодиче-скую однозначно-аналитическую функцию, которая не имеет других особых точек в комплексной плоскости, кроме полюсов. [33]
Имея какие-либо эллиптические функции с одними и теми же основными периодами 2oi и 2к 2 и производя над ними любые рациональные операции - сложение, вычитание, умножение, деление, получаем снова эллиптические функции с теми же периодами. Таким путем можно получить функции сколь угодно высоких порядков. [34]
Так как эллиптическая функция sn т имеет период 4 / T ( fc), где К ( k) - полный эллиптический интеграл первого рода, то sn2 т имеет период, вдвое меньший. [35]
Следовательно, эллиптическая функция z sn w есть меро-морфная функция. В указанном процессе продолжения вся плоскость покроется сетью равных и одинаково расположенных прямоугольников, попеременно конформно отображаемых посредством z sn w на верхнюю или нижнюю полуплоскость. [36]
Если две эллиптические функции с одинаковыми периодами имеют в параллелограме периодов одни и те же полюсы, с одинаковыми главными частями, то они отличаются лишь постоянным слагаемым. [37]
Если две эллиптические функции с одинаковыми периодами имеют в параллелограме периодов одинаковые нули и полюсы одной и той же кратности, то они отличаются лишь постоянным множителем. [38]
Если две эллиптические функции f ( u) и f % ( u) с одинаковыми периодами имеют в параллелограмме периодов одинаковые корни и полюсы, одной н той же кратности у обеих функций, то эти функции отличаются лишь постоянным множителем. [39]
Если две эллиптические функции / г ( и) и / 2 ( и) с одинаковыми периодами имеют в параллелограме периодов одни и те же полюсы, с одинаковыми бесконечными частями, то они отличаются лишь постоянным слагаемым. [40]
Если две эллиптические функции fi ( u) и / 2 ( и) с одинаковыми периодами имеют в параллелограме периодов одинаковые корни и полюсы, одной и той же кратности у обеих функций, то эти функции отличаются лишь постоянным множителем. [41]
Если две эллиптические функции с одинаковыми периодами имеют в параллелограмме периодов одни и те же полюсы с одинаковыми главными частями, то они отличаются лишь постоянным слагаемым. [42]
Если две эллиптические функции с одинаковыми периодами имеют в параллелограмме периодов одинаковые нули и полюсы одной и той же кратности, то они отличаются лишь постоянным множителем. [43]
ТЕОРЕМА 6.4. Любая эллиптическая функция с периодами ш1 и о2 может быть представлена в виде f ( z) - Ri ( 9 ()) V ( z) Ri ( & ( z)), где R w) и Я2 ( то) - рациональные функции. [44]
При этом любая эллиптическая функция с заданными периодами 2 со, 2 со и полюсами в точках zn может отличаться от построенной сопряженной скорости ( II. [45]