Cтраница 3
В дальнейшем изложении теории прямолинейной системы, линейной системы с шахматным размещением скважин, пяти-и девятиточечной систем будем пользоваться эллиптическими функциями Якоби sn г, en z, dn z ( соответственно эллиптические синус -, косинус - и дельта-функции), которые являются в определенном смысле обобщением тригонометрических и гиперболических функций. Эллиптические функции Якоби позволяют получить необходимые формулы в компактной и удобной форме. [31]
Эти функции sin ( am и), cos ( am и), A ( am) называются эллиптическими функциями Якоби. [32]
В § 1.4 приводится точное решение ИУ, соответствующих сдвиговым контактным задачам для тел конечных размеров канонической формы, в форме, содержащей эллиптические функции Якоби. [33]
Отсюда, пользуясь основными соотношениями ( 103), получим из таблицы ( 90) для функций тэта таблицу ( 104), дающую формулы приведения эллиптических функций Якоби. [34]
Заметим, что решение задачи об установившемся течении жидкости к системе скважин площадного заводнения [ формулы (IV.33), (IV.38) - (IV.41) ] позволяет получить большое число полезных соотношений между эллиптическими функциями Якоби, функциями Вейерштрасса, тэта-функциями и рядами тригонометрических функций. Аналогичные выражения могут быть получены для всех рассмотренных систем размещения скважин площадного заводнения. [35]
Конечная цель, которую ставит книга, - ознакомить читателя, не владеющего теорией функций комплексного переменного, с простейшими представителями класса эллиптических функций: лемнискатическими функциями и несколько более общими - эллиптическими функциями Якоби. [36]
В дальнейшем изложении теории прямолинейной системы, линейной системы с шахматным размещением скважин, пяти-и девятиточечной систем будем пользоваться эллиптическими функциями Якоби sn г, en z, dn z ( соответственно эллиптические синус -, косинус - и дельта-функции), которые являются в определенном смысле обобщением тригонометрических и гиперболических функций. Эллиптические функции Якоби позволяют получить необходимые формулы в компактной и удобной форме. [37]
Im w 0 на прямоугольник плоскости z, стороны которого определяются выбором параметра fc эллиптической функции Якоби. [38]
В случае непрерывного излучения производные по времени можно положить равными нулю. Если для простоты пренебречь потерями в световоде, эти уравнения можно решить аналитически в виде эллиптических функций Якоби. [39]
Бесконечные произведения членов вида ( 1 - ql) возникают во многих разрешимых моделях. Знаменитая функция А возникла в модели, называемой плоскими циклами. Хотя комбинаторное изучение эллиптических функций Якоби начато ( Дю-мон [41], Флажоле [42], Вьенно [53]), тета-функции и модулярные формы пока еще не изучены с этой точки зрения. Разрешимые модели статистической механики представляют собой, быть может, хорошую отправную точку для такого рода исследований. [40]
В § 1 - 3 рассмотрены системы координат, углы Эйлера, кинематические уравнения Эйлера, теорема о распределении скоростей в теле, вращающемся вокруг неподвижной точки. Параграф 4 посвящен моментам инерции и эллипсоиду инерции, § 7 - 10 - вычислению кинетического момента и кинетической энергии тела, а также выводу динамических уравнений Эйлера, § 11 - 18 - случаям интегрируемости уравнений вращения тела с неподвижной точкой, установленным Эйлером и Лагранжем; приведена геометрическая интерпретация Пуансо. В § 14 излагается теория эллиптических функций Якоби, в § 18 - вывод уравнений движения гироскопа из уравнений Лагранжа II рода. [41]
В книге рассматривается в нелинейной постановке движение вращающегося твердого тела в атмосфере под действием синусоидального или бигар-монического восстанавливающего момента, зависящего от времени, и малых возмущающих моментов. Приведены факторы, определяющие возмущения, в виде медленно меняющихся параметров и параметров малой асимметрии. Даны аналитические решения уравнений невозмущенного движения в эллиптических функциях Якоби. Построены усредненные уравнения возмущенного движения осесимметричного тела и в ряде частных случаев найдены приближенные аналитические решения. Для случая возмущенного движения асимметричного тела найдены новые виды нелинейных резонансов, исследована устойчивость возмущенного движения в окрестности резонансов. Рассмотрена задача идентификации характеристик высокочастотного движения тела по сравнительно малому числу измерений. [42]
Хотя уравнение КДВ появляется в разнообразных приложениях, современный интерес к нему со стороны математиков вызван определенными свойствами этого уравнения и его решений. Это уравнение имеет стационарные решения в виде периодических ( однородных) и уединенных волн. Однородные стационарные решения, называемые кноидальными волнами, могут быть выражены через эллиптические функции Якоби. [43]
Действительная и мнимая части Р дают потенциальную функцию и функцию потока Ф, характеризующую распределение электрического поля. Отрицательный градиент потенциальной функции, вычисленный на поверхности проводников и умноженный на известную постоянную, дает плотность поверхностных зарядов. Таким образом - теперь остается найти только выражение для емкости. Получение этого выражения обычными методами из комплексной потенциальной функции приводит к выражению через эллиптические функции Якоби комплексных аргументов. К сожалению, таблицы для непосредственных оценок этих функций еще не вычислены; поэтому их надо разложить по эллиптическим функциям действительных переменных, получая, таким образом, для емкости очень сложное выражение. [44]
Таким образом, функция, отображающая прямоугольник на верхнюю полуплоскость, полностью определена. Проблема отображения соответственно сводится к отображению пэлусечения на полуплоскость. Этот интеграл легко представляется в виде формулы и оказывается эллиптическим интегралом третьего рода. Все такие интегралы, кроме интегралов с очень простыми подинтегральными функциями, что не соответствует рассматриваемому случаю, являются очень трудными для интегрирования. Однако после долгого и трудного изучения интеграция была окончательно проведена и дала точное общее выражение искомой комплексной потенциальной функции в неявном виде через эллиптические функции Якоби тригонометрического и зета-типов. Это общее выражение содержит три произвольные постоянные, которые должны быть определены из известных условий, вытекающих из отображения. Последовательными, повторяющимися подстановками эти постоянные определяются и, следовательно, получается точное, неявное выражение для комплексной потенциальной функции. [45]