Cтраница 4
Изложенный выше метод Фурье решения задачи Дирихле для шара применим не только в осесимметрично. Однако в общем случае при разделении переменных в уравнении Лапласа в сферических координатах мы получаем вместо уравнения Лежандра (21.12) более сложное уравнение, решения которого - так называемые присоединенные функции Лежандра - тесно связаны с многочленами Лежандра. [46]
Кручение тора круглого поперечного сечения в связи с расчетом винтовых пружин с малым шагом витков подробно изучил К. В. Соляник-Красса ( 1950); решение получено им с использованием биполярных координат и содержит ряды, включающие гиперболические, тригонометрические функции и присоединенные функции Лежандра. [47]
Для небольших значений орбитального квантового числа I 2 графики сферических гармоник как функций полярного и азимутального углов изображены на рисунке 9.2. При / 0 получилась сфера, по мере увеличения / поверхность становится все более изрезанной. Функции с максимальным числом т I сосредоточены вблизи экватора. Фактически на рисунке показаны присоединенные функции Лежандра. Теория сферических функций приведена в книге [38], включая обобщение на комплексный аргумент и дробные индексы. [48]
B ( r, z) ищется для звезды данной массы с нулевой плотностью на границе. При is 0 тороидальная компонента В, 0 у поверхности внутри звезды, а граничные значения полоидальных компонент полей Вг и Bz должны удовлетворять условиям совместности. Решение уравнений равновесия звезд с магнитным полем довольно сложно. Оно может быть получено путем разложения в ряд по полиномам и присоединенным функциям Лежандра. [49]
Среди всех систем ортогональных многочленов наиболее важные применения в математической физике имеют многочлены Лежандра. Эти многочлены, а также связанные с ними присоединенные функции Лежандра и сферические функции применяются при решении различных краевых задач для дифференциальных уравнений. Именно поэтому во многих монографиях и даже учебных пособиях по математической физике подробно излагаются свойства многочленов Лежандра. В качестве характерного примера можно привести монографию Е.В. Гобсона [ IV.4 ], которая целиком посвящена применению многочленов Лежандра и присоединенных функций Лежандра в математической физике. [50]