Cтраница 3
В основном пространстве К ( а) бесконечно дифференцируемых функций р (), обращающихся в нуль вне отрезка л; я, операторы умножения на л: и дифференцирования являются непрерывными операторами. Для доказательства применим только что установленный критерий. [31]
Нуль-пространство оператора АВ конечномерно и состоит из бесконечно дифференцируемых функций. [32]
К ( а) состоит из всех бесконечно дифференцируемых функций ср ( х) на прямой - оо х оо, обращающихся в нуль вне отрезка л; а. Линейные операции задаются здесь естественным образом. [33]
А, на котором и совпадает с бесконечно дифференцируемой функцией. [34]
Пусть теперь f ( х) - произвольная бесконечно дифференцируемая функция. Ответ на этот вопрос можно получить с помощью формулы Маклорена. [35]
Оказывается, что операторы умножения и на некоторые бесконечно дифференцируемые функции f ( x) также определены и непрерывны в пространствах типа S ] решение вопроса в данном случае зависит только от соотношений между быстротой роста функции f ( x) при х - оо и роста ее производных f ( x) при - юо, с одной стороны, и числами а, р, определяющими само пространство, с другой стороны. [36]
Далее, пусть выделено счетное подмножество А множества бесконечно дифференцируемых функций ( р: T-R, образующее полную систему ( фундаментальное множество [ 10, с. [37]
Естественным образом вводятся понятия п раз дифференцируемой и бесконечно дифференцируемой функции. Теоремы анализа о дифференцировании равномерно сходящихся последовательностей функций остаются в силе. [38]
Рассмотрим пространство К [ а, Ь ] бесконечно дифференцируемых функций / на отрезке [ а, 6 ] с обычными линейными операциями над функциями. [39]
Очевидно, такое представление возможно лишь в случае бесконечно дифференцируемой функции р ( р, К) в окрестности точки р рй. [40]
При а 0 пространство 50, А состоит из бесконечно дифференцируемых функций, которые обращаются в нуль вне отрезка х А. Оно совпадает, как мы видим, с пространством К ( А), которое мы неоднократно рассматривали раньше; в частности, мы знаем, что оно совершенно ( гл. [41]
Легко видеть, что У2 ( х) является бесконечно дифференцируемой функцией х в окрестности QXRM точки х, так как Е ( х у) - бесконечно дифференцируемая функция хну, когда х е Эд / 4 У il Q 2, и интеграл v2 можно дифференцировать под знаком интеграла. [42]
Или на любом другом пространстве функционалов, где все финитные бесконечно дифференцируемые функции входят в число основных. [43]
Если символ а ( т) принадлежит к пространствуй таких бесконечно дифференцируемых функций, что а ( щ) и все ее производные д а ( щ) растут на бесконечности не быстрее некоторой ( зависящей от а) степени т ], то оператор умножения на а ( щ) переводит S п себя. Тогда оператор a ( D), являющийся композицией преобразования Фурье и умножения на а ( щ), также переводит 5 в себя. [44]
Для этого введем следующее удобное определение: будем называть последовательность бесконечно дифференцируемых функций ( cpv ( A:) правильно сходящейся, если при любом q последовательность D. [45]