Cтраница 2
Третье утверждение непосредственно вытекает из второго: ядро построенной аффинной функции / и является искомой гиперплоскостью. [16]
Оказывается, что сопряженной к частной аффинной функции будет снова частная аффинная функция. Но вследствие того, что частная аффинная функция обязательно является замкнутой ( следствие 7.4.2), она является сопряженной к своей сопряженной. Таким образом, совокупность всех частных аффинных функций так же, как и совокупность всех подпространств, разбивается на двойственные пары. Легко дать явную формулу для такого соответствия. [17]
Булева функция должна находиться на достаточно большом расстоянии от любой аффинной функции. [18]
Следствие 29.8. Пусть МаЕп - выпуклый многогранник и f - аффинная функция, заданная на Еп. В частности, для любой аффинной функции f найдется вершина многогранника М, в которой функция f, рассматриваемая на М, достигает наибольшего значения. [19]
Таким образом, задача отделения выпуклых множеств эквивалентна задаче построения непостоянной аффинной функции, неотрицательной на одном множестве и неположительной на другом. [20]
Следствие 32.3.4 применимо, в частности, к задаче о максимуме аффинной функции на множестве решений конечной системы слабых линейных неравенств. Этот факт имеет решающее значение для вычислительной практики линейного программирования. [21]
Если / субдифференцируема в точке х, то она мажорирует некоторую аффинную функцию и поэтому является собственной. Множество df ( х) будет пусто тогда и только тогда, когда его опорная функция тождественно равна - оо. Но, согласно предыдущей теореме, опорная функция множества df ( х) есть cl ( / ( л; )), а замыкание выпуклой функции в том и только том случае может тождественно равняться - оо, когда сама эта функция где-то обращается в - оо. [22]
Теорема 29.2. Пусть Мс: Еп - выпуклое множество и f - непостоянная аффинная функция, заданная на Еп. Предположим, что функция I, рассматриваемая только на множестве М, достигает максимума в некоторой точке Q e M. Тогда ядро аффинной функции Д представляет собой опорную гиперплоскость множества М, проходящую через точку Q. [23]
Понятно, что все постоянные функции являются аффинными функционалами, сумма двух аффинных функций и произведение на число является аффинной функцией. [24]
Теорема 20.3 Пусть / ь / 2: X - D - две аффинные функции, отличающиеся друг от друга на константу. Тогда гиперплоскости Кег / ь Кег / 2 параллельны. [25]
Теорема 29.9. Пусть М с: Еп - выпуклый многогранник и f - аффинная функция, заданная на Еп. Обозначим через М ту грань многогранника М, на которой функция f ( рассматриваемая на М) принимает наибольшее значение. [26]
Таким образом, мы сопоставили каждому характеру К е Ж ( 5) семейство вещественных аффинных функций Я на й ( К), отличающихся друг от друга на произвольное целочисленное слагаемое. Каждая из функций X полностью определяет характер К. [27]
Ап отличен от нуля, то левая его часть в силу теоремы 23.5 определяет непостоянную аффинную функцию на X и потому, согласно теореме 20.1, уравнение (23.8) определяет гиперплоскость. [28]
Пусть теперь Г - произвольная гиперплоскость пространства X и /: X - D - непостоянная аффинная функция, ядром которой служит гиперплоскость. [29]
Оставив в системе ( 9) лишь г т линейно независимых уравнений ( линейно - аффинных функций /), мы на любую плоскость П размерности п - г можем смотреть как на пересечение г гиперплоскостей. В случае несовместной системы линейных уравнений пересечение гиперплоскостей пусто. [30]