Cтраница 4
Теорема 29.2. Пусть Мс: Еп - выпуклое множество и f - непостоянная аффинная функция, заданная на Еп. Предположим, что функция I, рассматриваемая только на множестве М, достигает максимума в некоторой точке Q e M. Тогда ядро аффинной функции Д представляет собой опорную гиперплоскость множества М, проходящую через точку Q. [46]
Множество DO в теореме 28.1 может быть собственным подмножеством множества минимумов D. В этом случае h как аффинная функция, ограниченная снизу на Ш, обязана быть константой. Можно, однако, указать важный специальный случай, когда D0 совпадает с D. В такой ситуации после определения точки минимума h уже не нужно делать каких-либо дополнительных проверок. [47]
Оказывается, что сопряженной к частной аффинной функции будет снова частная аффинная функция. Но вследствие того, что частная аффинная функция обязательно является замкнутой ( следствие 7.4.2), она является сопряженной к своей сопряженной. Таким образом, совокупность всех частных аффинных функций так же, как и совокупность всех подпространств, разбивается на двойственные пары. Легко дать явную формулу для такого соответствия. [48]
Функция / неотрицательна на одном из полупространств, определяемых гиперплоскостью Г, и неположительна на другом; поэтому она неотрицательна на одном из множеств М, М2 и неположительна на другом. Итак, если множества М, М2 отделимы, то существует непостоянная аффинная функция, неотрицательная на одном из множеств М1 и М2 и неположительная на другом. [49]
Двойственность между точками и гиперплоскостями играет весьма важную роль во многих разделах анализа и геометрии, но, пожалуй, нигде она не играет роли столь замечательной, как в выпуклом анализе. Основой теории двойственности выпуклых множеств является тот факт, что замкнутое выпуклое множество есть пересечение замкнутых полупространств, его содержащих. В переводе на язык функций этот факт звучит так: выпуклая замкнутая функция есть поточечная верхняя грань аффинных функций, ее не превосходящих. Равносильность этих фактов сразу следует из рассмотрения надграфиков, и оба они очень важны, хотя первый; интуитивно очевиднее. Вторая формулировка, касающаяся функций, имеет то преимущество, что она непосредственно приводит к понятию двойственности между замкнутыми функциями, а именно-двойственности по Фенхелю. [50]