Cтраница 3
На современном языке мертонская теорема связывает простой факт интегрального исчисления с функциональным уравнением ( 4), характеризующим аффинные функции. [31]
Как мы уже отмечали, теорема Гейла - Куна - Таккера вытекает из следствия 31.4.1, если в качестве / взять частично аффинную функцию и придать ей некоторое таккеровское представление. Различные возможные таккеровские представления соответствуют различным таблицам, возникающим при решении данной линейной программы при помощи общеизвестного симплекс-метода Данцига. В работах Денниса [1] и Даффина [2] можно найти некоторые другие теоремы двойственности, которые можно рассматривать как частные случаи следствия 31.4.1, хотя в цитированных работах они получаются с помощью преобразования Лежандра и без привлечения аппарата сопряженных функций. [32]
Из теоремы 19.6 следует, что и обратно, если отображение /: X - D удовлетворяет условию (20.1), где р - линейный функционал на R, то / - аффинная функция. [33]
В общем случае, для того чтобы / была полиэдральной выпуклой функцией в Ш, ее надграфик epi / должен быть пересечением конечного числа замкнутых полупространств в Ш 1, которые либо вертикальны, либо являются надграфиками аффинных функций. [34]
В этом случае можно сказать, что каждая точка р е К имеет единственное интегральное представление на § ( К), определяемое некоторой мерой тр, такой, что f ( p) тор ( /) для любой непрерывной аффинной функции / на К. [35]
Вогнутые функции удовлетворяют при сходных допущениях обратным неравенствам. Для аффинных функций все неравенства заменяются на равенства. [36]
P)) / ( l ( Q) - 1 ( Р)), находим искомую точку. Пусть задана непостоянная аффинная функция l: A-R, тогда множество точек таких, что l ( X) a, Xe A, ae R, есть гиперплоскость. [37]
Пусть 7 - гауссовская мера на локально выпуклом пространстве X. Понятие - измеримой аффинной функции определяется аналогично. [38]
Итак, если аффинная функция f: X - D непостоянна, то она принимает на X все действительные значения. [39]
Следует, однако, иметь в виду, что эти термины условны. В самом деле, аффинная функция f - / также имеет своим ядром гиперплоскость Г, но по отношению к этой аффинной функции уже, наоборот, Hz является положительным полупространством, а Ш - отрицательным. [40]
В силу следствия 33.3 касательная аффинная функция / в точке Q ( если она существует) единственна. [41]
Следствие 29.8. Пусть МаЕп - выпуклый многогранник и f - аффинная функция, заданная на Еп. В частности, для любой аффинной функции f найдется вершина многогранника М, в которой функция f, рассматриваемая на М, достигает наибольшего значения. [42]
Оказывается, что сопряженной к частной аффинной функции будет снова частная аффинная функция. Но вследствие того, что частная аффинная функция обязательно является замкнутой ( следствие 7.4.2), она является сопряженной к своей сопряженной. Таким образом, совокупность всех частных аффинных функций так же, как и совокупность всех подпространств, разбивается на двойственные пары. Легко дать явную формулу для такого соответствия. [43]
Следует, однако, иметь в виду, что эти термины условны. В самом деле, аффинная функция f - / также имеет своим ядром гиперплоскость Г, но по отношению к этой аффинной функции уже, наоборот, Hz является положительным полупространством, а Ш - отрицательным. [44]
Функции х - - х - Xj непрерывны, а стало быть, и ц непрерывна. Каждая функция х - KJ аффинна на [ x - i, xt ], а именно, равна - ( х - Xj) для i /, и х - х, для i /; следовательно, ц - аффинная функция. На каждом из интервалов Xt-i, х [ функции х - Xj, а с ними и ц, дифференцируемы. [45]