Cтраница 3
Функция f ( х): Rm - К1, измеримая относительно а-алгебры § Б, называется борелевской функцией. [31]
В самом деле, если X - измеримая функция ( не обязательно числовая), a g - борелевская функция, определенная на пространстве значений функции X, то для каждого борелевского множества S в пространстве значений функции g множество gPO 1 ( S /) X-1 ( g - l ( Sf)) измеримо, поэтому функция gX измерима. [32]
Кроме того, оценки величины () с произвольной ограниченной ( или не слишком быстро растущей на бесконечности неограниченной) борелевской функцией / даже в одномерном случае существенно общее классических. Для доказательств авторы используют исключительно метод характеристических функций, и другие, применяемые в этой области методы ( более предпочтительные в ряде отношений), такие как метод композиций и операторный метод, остались за рамками книги. [33]
СВ по наблюдениям, образующим случайный вектор TJ G Mn, a д ( х), x e W1, - борелевская функция. [34]
С помощью этого неравенства нетрудно проверить, что функция / л ( -) не зависит от выбора равномерно сходящейся к / () последовательности копечпозпачных борелевских функций. [35]
В связи со свойством 2), напомним, что функция /: D - Дт, где D С Дп, называется борелевской ( измеримой по Борелю), если множество f - l ( B) П D является борелевским для любого В С Вт. Борелевские функции замкнуты относительно операции суперпозиции и измеримы по любой мере / /; в то же время любая / / - измеримая функция может быть сделана борелевской за счет изменения ее значений на множестве нулевой / / - меры. Суперпозиция борелевской функции с / / - измеримой является / / - измеримой, хотя суперпозиция / / - измеримых функций, вообще говоря, не является измеримой. Функции ограниченной вариации на Т являются борелевскими. [36]
Функция р ( у), у G М1, заданная на действительной прямой, называется борелевской функцией, если она ( М1) - измерима. Примерами борелевских функций являются все кусочно непрерывные функции. [37]
Так как правая часть стремится к 0 при с - оо, то предел в правой части равенств ( 8) равен 0, следовательно, в этом случае равенство ( 7) справедливо. Для произвольных борелевских функций g ( x) формула ( 7) получается с помощью предельного перехода. [38]
Интеграл от цилиндрической финитной борелевской функции по цилиндрической квазимере определяется совершенно так же, как и интеграл от цилиндрической борелевской функции по цилиндрической мере. [39]
Пусть g есть борелевская функция, определенная на пространстве значений 3 семейства ел. [40]
T) алгебры существенно ограниченных борелевских функций на а ( Т) в алгебру ограниченных операторов, удовлетворяющего условию id ( T) - T и переводящего всякую ограниченную поточечно сходящуюся последовательность функций в сильно сходящуюся последовательность операторов. Поскольку из существования функционального исчисления, в свою очередь, следует теорема о С. [41]
Пусть g - такая числовая борелевская функция, определенная на выборочном пространстве функции Хт, что математическое ожидание g ( XT) существует. [42]
Одним из мощных приемов в математике является представление абстрактных математич. Если рассмотреть умножение функций того же класса на борелевские функции, то получают представление коммутативного нормального кольца операторов в гильбертовом пространстве. Более общий пример представления доставляет нам одна из главных теорем теории коммутативных банаховых алгебр. [43]
Пусть Я - класс тех борелевских функций п переменных, для которых справедливо утверждение задачи. Используя утверждение предыдущей задачи, доказать, что класс содержит все борелевские функции. [44]
Утверждение легко доказать с помощью условных плотностей, если величины n, n: 1 имеют положительную плотность. Без этого предположения возможен иной подход: пусть g и h - действительные борелевские функции на R. [45]