Cтраница 4
Однако линейная аппроксимация не всегда приемлема, так как при значительных отклонениях аппроксимируемой функции от линейной возникают большие погрешности аппроксимации. Тогда прибегают к аппроксимации более сложными функциями, в том числе степенными, экспоненциальными, тригонометрическими, дробно-линейными во всем диапазоне преобразования или с разбивкой на несколько участков и аппроксимацией каждого участка отдельной базисной функцией. [46]
Под приближением сплайнами понимают способ кусочно-полиномиального приближения непрерывных функций. В точках t, 1 k р, требуется выполнение условий непрерывности аппроксимируемой функции и ее ( q - 1) первых производных. Такие кусочно-полиномиальные функции называются сплайнами степени q с р сопряжениями. [47]
Однако простое сложение двух операторов 4s ( s) и jt ( t) в точках пересечения двух семейств интерполяционных функций удваивает значение аппроксимируемой функции. [48]
Описываемый управляемый делитель использован в ФАЦП с кусочно-линейной аппроксимацией для определения функции NVF ( NX), близкой к корнеизвлекающей. С такой вычислительной задачей встречаются при определении расходов газа и нефтепродуктов по перепаду давления с помощью сужающих устройств. Точность кусочно-линейной аппроксимации зависит от кривизны аппроксимируемой функции и тага аппроксимации. В большинстве случаев кривизна функции не остается постоянной; она изменяется, и в рассматриваемом случае - в весьма существенных пределах. Если выбрать шаг аппроксимации равномерным и постоянным, то при заданной погрешности преобразования его длина будет определяться - участком, где кривизна функции максимальна. [49]
Для этого уъ ( 17) приближается полиномом 3 - 6 степени по критерию минимума среднего квадрата отклонения по 10 - 30 точкам. Число точек выбирается так, чтобы их было в 3 - 5 раз больше, чем степень полинома. Такое приближение дает на участке О - 100 мка отклонение от аппроксимируемой функции порядка 0 25 %, что является уже достаточным для расчета ФП с кусочно-криволинейной аппроксимацией. [50]
На рис. 2.42 приведен аналогичный пример аппроксимации функции x ( t) с помощью первых шестнадцати членов разложения по полиномам Чебышева 2-го рода. Из графиков рис. 2.42 следует, что наибольшие локальные ошибки имеют место в точках быстрого изменения кривых. При аппроксимации сильно изрезанной кривой ограниченным рядом из небольшого числа полиномов происходит сглаживание аппроксимируемой функции. [51]
С увеличением коэффициента температуропроводности среды, например для расплавов жидких металлов, возникает настоятельная необходимость в расширении временного интервала, в течение которого получаемое решение справедливо. С этой целью воспользуемся методом [22], широко практикуемым в теории нестационарной гидроупругости оболочек. Указанный метод базируется на идее замены лапласового изображения f ( s) некоторой асимптотически эквивалентной функцией комплексного переменного f ( s), содержащей те же особенности, что аппроксимируемая функция. [52]
Приведенные выше примеры показывают эффективность использования сплайнов в термодинамике растворов. Сглаживающие сплайны дают удобный и главное - универсальный способ аппроксимации экспериментальных данных, содержащих погрешность. Они позволяют получить аналитическое описание практически любой сложной зависимости термодинамической функции сплава от параметров его состояния, в то время как обычные нелокальные способы сглаживания не позволяют этого сделать. Эти преимущества имеют место и при использовании сглаживающих сплайнов для аппроксимации линий фазовых равновесий. Полученное адекватное описание экспериментальных данных сглаживающим сплайном может использоваться для решения практических задач или применяться для расчета таблицы значений аппроксимируемой функции в равноотстоящих пли рационально выбранных узлах. В свою очередь, таблица сглаженных значений какой-либо одной термодинамической функции служит и непосредственно для представления соответствующего свойства в справочнике, и является основой для построения самосогласованной системы таблиц, В процессе расчета систем справочных таблиц осуществляется компиляция экспериментальных значений различных функций, связанных термодинамическими соотношениями. Использование готовых систем таблиц требует лишь простейших вычислительных операций. Предложенное сочетание табличного способа представления термодинамических свойств с их аналитическим описанием интерполирующим сплайном не вносит каких-либо изменений в существующую структуру термодинамических справочников и не требует публикации дополнительных данных. Наоборот, объем таблиц часто может быть сокращен почти вдвое по сравнению с принятым в настоящее время за счет уменьшения числа узлов, так как использование сплайнов дает возможность выбрать оптимальное количество узлов таблицы. [53]
Другой путь синтеза байесовой системы заключается в построении на основе обучающей выборки ( 2 - 100) непосредственно байесовых дискриминантных функций fhj ( y) - При этом необходимо задаться классом аппроксимирующих функций в пространстве У. Поскольку конечной целью задачи является построение дискриминантных функций fkj ( y ], представляется целесообразным непосредственно по выборке ( 2 - 100) производить их аппроксимацию. По сравнению с задачей аппроксимации распределений вероятностей-р ( у 1) аппроксимация дискриминантных функций привлекательна тем важным обстоятельством, что при использовании дискриминантных функций для обнаружения событий важны не точные значения этих функций, а лишь их знаки, которые они принимают при подстановке в них конкретных значений у. Получающееся значительное сужение области аппроксимации позволяет в свою очередь выбирать в качестве аппроксимирующих простые функции, например линейные. Возможность получить удовлетворительные результаты от использования для аппроксимации fkj ( y) простых функций имеет большое значение, так как априори об аппроксимируемых функциях p ( y i) и fhj ( y) ничего не известно. В то же время для перечисленных функций, кроме fhj ( y ], линейные функции заведомо непригодны для аппроксимации. Кроме этого, аппроксимация дискриминантных функций привлекательна еще и тем, что при этом можно задаваться видом границ областей в пространстве У. Существенным недостатком при аппроксимации дискриминантных функций в окрестности ffcj ( y) 0 является при т2 их значительное число [ значительно большее числа p ( y i ], которое составляет не менее 0 5т ( т - 1), где т - число событий. [54]