Любая аналитическая функция

Cтраница 3

К счастью, имеется разумный способ избежать этих дополнительных вызовов, основанный на факте, что ф ( А) имеет те же самые собственные векторы, что и матрица А, для любой аналитической функции ф, значения которой для различных собственных чисел ( как значениях аргумента) также различны. [31]

Если ( при любом знаке Dz) задача Дирихле пи при каком задании / ( s) на данном контуре С не имеет более одного регулярного решения, то задача Дирихле имеет регулярное решение при любой аналитической функции ср ( s) на этом контуре тогда и только тогда, когда: 1) она имеет регулярное решение при некотором определенном задании ср0 ( s); 2) z [, р, q могут быть a priori ограничены. [32]

Более того, аналогичный результат имеет место для любого аналитического или достаточно гладкого семейства диффеоморфизмов, близких к поворотам, например, для семейства у - у - - a - - ео ( у ] с любой аналитической функцией а: при малых е орбиты с подавляющей вероятностью всюду плотны на окружности, и число вращения иррационально. [33]

Кроме того, в заметке [15] С. Н. Бернштейн указывает прием для равномерного ограничения производных регулярных решений во всякой фиксированной области S внутри контура, из которого вытекает существование решения задач Дирихле для любой непрерывной краевой функции, если таковое существует для любой аналитической функции. [34]

В сказанном важно обратить внимание на следующий аспект. Любая аналитическая функция может быть продолжена до функции, определенной на максимально возможной области. Но так или иначе появляется возможность вообще не упоминать область определения, считая f ( z) определенной везде, где возможно. [35]

С другой стороны, любая аналитическая функция осуществляет внутреннее отображение. [36]

Для первого из этих решений любая вещественная функция от него представляет собою снова решение. Для второго таким решением будет любая аналитическая функция от z, регулярная в комплексной области. [37]

Иными словами, при каноническом преобразовании произвольная динамическая функция переходит в ту же самую функцию преобразованных переменных. В самом деле, для любой аналитической функции вида (1.2.2) величина b ( q, р) строится из переменных ( q, р) комбинированием операций сложения и умножения. [38]

Класс внутренних в смысле Стоилова отображений определяется весьма просто: он состоит из всех непрерывных отображений, преобразующих открытые множества в открытые и не сводящих в точку континуумы, отличные от точки. Классические теоремы теории аналитических функций - принцип сохранения области и теорема единственности - показывают, что любая аналитическая функция осуществляет внутреннее отображение. Более того, так как свойства, определяющие рассматриваемый класс, не нарушаются при гомеоморфизмах, то и любая функция, которая получается из аналитической гомеоморфным преобразованием аргумента, также осуществляет внутреннее отображение. С другой стороны, важнейшее свойство класса внутренних отображений выражается знаменитой теоремой Стоилова, по которой любая функция, осуществляющая такое отображение, после некоторого гомеоморфного преобразования аргумента переходит в аналитическую функцию. Иными словами, внутренние отображения - это произвольные отображения вида w f [ T ( z) ], где / - аналитическая функция, а Т - гомеоморфизм. В этом смысле функции, осуществляющие внутренние отображения, и являются топологически эквивалентными аналитическим, а совокупность их свойств - совокупностью топологических свойств аналитических функций. [39]

Поэтому можно ожидать, что неподвижные особые точки в уравнениях рассматриваемого типа, когда правая часть есть любая аналитическая функция от z, также могут быть какие угодно. Таким образом, мы видим, что наибольший интерес представляет исследование вопроса о природе подвижных особых точек. [40]

Таким образом результаты С. Н. Берн-штейна распространяются на достаточно гладкие функции. Кроме того, в заметке [17] С. Н. Бернгатейп указывает прием для равномерного ограничения производных регулярных решений во всякой фиксированной области S внутри контура, из которого вытекает существование решения задачи Дирихле для любой непрерывной краевой функции, если таковое существует для любой аналитической функции. [41]

Но, как мы теперь знаем, эта попытка не могла увенчаться успехом, потому что ряд Лагранжа, вообще говоря, расходится. В случае равноотстоящих абсцисс ( формула Ньютона) это было установлено еще в 1901 г. Рунге, который показал в то же время, что надлежащим сгущением абсцисс у концов рассматриваемого отрезка можно обеспечить сходимость интерполяционных многочленов для любой аналитической функции. В действительности это сгущение, которое, в частности, осуществляется, если в качестве абсцисс ( или узлов) интерполяции принять корни многочленов Чебышева, обеспечивает сходимость даже в случае функции, удовлетворяющей весьма общим условиям Дини-Липшица. [42]

Естественным логическим следствием принципа аналитического продолжения является введение нового понятия функции. У функций в этом новом смысле область определения не задается заранее, а определяется заданием функции в окрестности какой-либо точки. Основная трудность, связанная с изучением такого рода функций ( мы назовем их аналитическими функциями), в том, что они, вообще говоря, не являются однозначными функциями точки комплексной плоскости. Мы покажем, что любую аналитическую функцию можно рассматривать как однозначную функцию, но уже не только от точки, а еще и от кривой, ведущей в эту точку из некоторой фиксированной точки. Для многозначных аналитических функций возникают две основные задачи: найти всю область определения по данному элементу и выяснить характер зависимости аналитической функции от кривой. Мы подробно рассмотрим эти задачи для основных элементарных функций и выскажем некоторые общие соображения. Кроме того, мы изложим способ, позволяющий рассматривать аналитическую функцию как. Эта поверхность называется римановой поверхностью аналитической функции. [43]

Поток около движущегося тела. [ IMAGE ] Потенциальный по - Система отсчета движется вместе с телом ток около шара. [44]

Если при движении жидкости все линии тока представляют собой плоские кривые, расположенные в параллельных плоскостях, и скорость течения во всех точках каждой прямой, перпендикулярной к семейству параллельных плоскостей, одинаковая, то такое движение жидкости называется плоскопараллельным, или плоским движением. Если совместить одну из параллельных плоскостей с плоскостью ху, то из трех составляющих скорости и, v, w последняя будет равна нулю, а первые две будут функциями только от х и у. В математической гидродинамике теория плоских потоков разработана особенно полно, так как существует мощный математический метод, облегчающий исследование таких потоков. Оказывается, что и вещественная, и мнимая части любой аналитической функции комплексной переменной х iy всегда удовлетворяют уравнению Лапласа ( 41) и поэтому могут рассматриваться как потенциалы. [45]

Страницы: 1 2 3 4