Cтраница 4
Из простого дифференцирования соотношения (3.219) следует, что обе функции и ( х, у) и v ( x, у) удовлетворяют уравнению Лапласа. Поэтому обе они являются потенциальными функциями. Оно означает, что можно построить бесконечное количество потенциальных функций, взяв просто действительную и мнимую части любой аналитической функции. Трудность, естественно, заключается в удовлетворении заданным граничным условиям. [46]
Будем предполагать, что функция f ( x) имеет аналитический характер в интервале [ О, 1 ] и в некоторой области комплексной плоскости, охватывающей этот интервал. Это дает возможность ограничить все исследования только специальной функцией ( za - x) -, где г есть некоторая фиксированная точка комплексной плоскости. Если мы сможем показать, что-наш квадратурный метод сходится для этой частной функции при условии, что 20 лежит вне некоторой вполне определенной области комплексной плоскости, то сходимость обеспечена для любой аналитической функции f ( z), которая остается регулярной внутри и на границе этой области. [47]
Будем предполагать, что функция f ( x) имеет аналитический характер в интервале [ О, 1 ] и в некоторой области комплексной плоскости, охватывающей этот интервал. Это дает возможность ограничить все исследования только специальной функцией ( za - х) -, где za есть некоторая фиксированная точка комплексной плоскости. Если мы сможем показать, что - наш квадратурный метод сходится для этой частной функции при условии, что гп лежит вне некоторой вполне определенной области комплексной плоскости, то сходимость обеспечена для любой аналитической функции f ( z), которая остается регулярной внутри и на границе этой области. [48]