Cтраница 2
Целой функцией / ( z) называется однозначная аналитическая функция, не имеющая особых точек в конечной части плоскости. [16]
Наиболее общее a priori возможное множество особенностей однозначной аналитической функции - это совершенное множество без внутренних точек. Из них наиболее простыми, наряду с совершенными всюду разрывными, являются линейные континуумы. [17]
В общей теории [25] доказывается осуществимость преобразования однозначных аналитических функций в псевдоаналитические с помощью интегралов по области. [18]
Точка г оо называется изолированной особой точкой однозначной аналитической функции / ( г), если вне круга некоторого радиуса R функция / ( г) не имеет особых точек, находящихся на конечном расстоянии от начала координат. [19]
Расширим понятие однолистной функции, допуская, что однозначная и аналитическая функция f ( z) может иметь полюсы в области G. Из условия однолистности ( f ( z1) ff ( z2), если Z1 z2) следует, что она может иметь только один полюс. Покажем, что этот полюс необходимо должен быть простым. [20]
Рассмотрим теперь вопрос о классификации изолированных особых точек однозначных аналитических функций. [21]
Это означает, что в такой области можно определить несколько однозначных аналитических функций, по отношению к каждой из которых функция w zn является обратной. [22]
Никаких других промежуточных случаев быть не может и, следовательно, однозначная аналитическая функция в качестве изолированных особых точек может иметь только либо устранимые особые точки, либо полюсы, либо существенно особые точки. [23]
Пользуясь этим определением, получаем следующую теорему: Сумма всех вычетов однозначной аналитической функции, имеющей в расширенной плоскости одни только изолированные особые точки, равна нулю. [24]
Согласно этой формуле произведение, стоящее в правой части, является квадратом однозначной аналитической функции. [25]
Теперь можно дать такое определение мероморфной функции ( эквивалентное прежнему): однозначная аналитическая функция f ( z) называется мероморфной, если она не имеет в конечной плоскости других особых точек, кроме полюсов. [26]
Во всех предыдущих рассмотрениях мы фактически основывались на формуле Коши, справедливой для однозначной аналитической функции. Следовательно, рассмотренные методы можно применять лишь тогда, когда аналитическое продолжение f ( z) функции f ( x) с действительной оси в область, ограниченную контуром интегрирования, является однозначной аналитической функцией. В тех же случаях, когда полная аналитическая функция F ( z) оказывается многозначной на полной комплексной плоскости z, надо так выбирать контур интегрирования, чтобы внутри его не содержалось точек разветвления функции F ( z), и рассматривать лишь однозначную ветвь f ( z) полной аналитической функции F ( z), являющуюся непосредственным аналитическим продолжением функции f ( x ] в комплексную область. Эти соображения позволяют распространить рассмотренные выше методы на ряд несобственных интегралов, часто встречающихся в приложениях. Рассмотрим несколько типичных случаев. [27]
Непосредственно из условий Коши - Римана следует, что действительная и мнимая части однозначной аналитической функции / ( г) и ( х, у) iv ( х, у) в области D являются в этой области гармоническими функциями. Две гармонические в области D функции и ( х, у) и v ( х, у, связанные условиями Коши - Римана, называются сопряженными. [28]
Итак, мы доказали, что множество D значений, принимаемых в некоторой области G однозначной аналитической функцией w - / ( г) ф const, есть область. [29]
Из проведенных рассмотрений следует, что возможны две различные точки зрения на классификацию изолированных особых точек однозначной аналитической функции, приводящие к одинаковым результатам. Мы исходили из аналитической точки зрения, основанной на характере разложения функции в ряд Лорана, и установили, как ведет себя сама функция при стремлении к особой точке. Возможен и другой, геометрический подход, при котором в основу классификации кладется поведение функции в окрестности ее изолированной особой точки. При этом, если функция ограничена в окрестности особой точки, то эта точка называется устранимой и, как следует из теоремы 4.3, разложение данной функции в ряд Лорана в окрестности этой особой точки не содержит отрицательных степеней. Если при стремлении к особой точке функция имеет бесконечный предел, то эта точка - полюс и разложение в ряд Лорана имеет конечное число отрицательных степеней. И наконец, если функция при стремлении к особой точке не имеет конечного или бесконечного предела, то это - существенно особая точка, разложение в ряд Лорана содержит бесконечное число отрицательных степеней. [30]