Cтраница 3
Поэтому ряд в формуле (4.22) сходится абсолютно и равномерно, и, следовательно, его сумма является непрерывной периодической функцией. [31]
Только что доказанную теорему Вейерштрасса можно рассматривать как доказательство того, что класс тригонометрических полиномов всюду плотен в пространстве С непрерывных периодических функций. [32]
Последовательность периодических обобщенных функций сходится в обобщенном смысле тогда и только тогда, когда ее можно представить в виде конечной суммы производных равномерно сходящихся последовательностей непрерывных периодических функций. [33]
Абсолютное значение разности [ / ( p - f - 9) - / ( %) ] не превышает некоторого определенного положительного числа М, раз f ( t) - непрерывная периодическая функция. [34]
Абсолютное значение разности [ / ( 9 - f - 0) - / ( %) ] не превышает некоторого определенного положительного числа М, раз f ( t) - непрерывная периодическая функция. [35]
Рассмотрим теперь плоский случай, и пусть граница В состоит из конечного числа простых замкнутых кривых, имеющих уравнение: x x ( t), yy ( t), гдедг () и у ( t непрерывные периодические функции параметра t ( черт. Положим сначала, что точка Л / 0 находится на внешнем контуре / j ( черт. [36]
Поскольку для любой функции / ( ж) Е ( 7 ( 2тг) модуль непрерывности cj ( J /) убывает к нулю при S - 0, то из неравенства ( 13) следует теорема Вейерштрасса о приближении непрерывных периодических функций тригонометрическими полиномами. [37]
Благодаря замене переменной х - cos б, многочлен степени п превращается в тригонометрическую сумму п-то порядка относительно cos б, Поэтому все результаты, относящиеся к наилучшему приближению произвольной непрерывной функции, заданной на отрезке [ - 1, 1], посредством многочленов, приводят к соответствующим предложениям о наилучшем приближении любых непрерывных периодических функций с периодом 2тг посредством конечных тригонометрических сумм. [38]
Возникает вопрос о сходимости полученных обобщенный рядов Fourier. Известно, что тригонометрический ряд даже от непрерывной периодической функции не должен всюду сходиться, тем более для расширенного класса почти периодических функций. Некоторые результаты в этой области, однако, получены. [39]
Если мы ее продолжим периодически с периодом 2л, она будет непрерывной на всей оси Ох. Условимся в дальнейшем называть функцию с периодом 2л непрерывной периодической функцией в том и только в том случае, когда она остается непрерывной и после ее периодического продолжения; если же / ( х) непрерывна только на некотором отрезке длины 2я, но в его концах имеет разные значения, а следовательно становится разрывной, если ее продолжить периодически ( см. рис. 4 на стр. [40]
Рассмотрение основных понятий и соотношений гармонического анализа удобно провести с постепенным усложнением модели сигнала - функции времени, следуя, кстати, тому порядку, который исторически сложился по мере развития и углубления модели сигнала, использовавшейся в задачах передачи и обработки данных. Достаточно выделить два основных типа ( детерминированных) функций времени - непрерывные и периодические функции. Далее оказывается возможным перейти и к гармоническому анализу случайных функций, в том числе и применительно к наиболее полной модели сигнала - случайному процессу, способному обеспечивать стационарный приток информации в систему. [41]
Рассмотрим уравнение (14.1) с переменным коэффициентом а. Если число h рациональное, то условия разрешимости уравнения те же, что и в пространстве непрерывных периодических функций, так как в этом случае отображение x - x h периодическое, как отображение окружности. [42]
В учебных книгах по математическому анализу доказывается), что семейство тригонометрических многочленов Тп ( х) является полным в классе непрерывных л-периодических функций. Поэтому можно предполагать, что тригонометрическое интерполирование при надлежащем выборе узлов должно в широком классе случаев позволить достаточно точно интерполировать непрерывные периодические функции. [43]
Хл ( 0 ХА р) - любые вещественные числа, при р достаточно большом. Теория почти-периодических функций, представляющих существенное обобщение периодических функций, которые соответствуют частному случаю, когда все числа ХЛ соизмеримы, - одно из крупнейших достижений анализа последнего времени. Но почти-периодические функции, конструктивно определяемые ( подобно непрерывным периодическим функциям) условием, что их наилучшее приближение тригонометрическими суммами ( 7) стремится к нулю при р-оо, далеко не исчерпывают всей совокупности равномерно непрерывных на всей вещественной оси функций. Для этой цели необходимо использование более обширного класса так называемых целых функций конечной степени, включающего суммы ( 7) как частный случай. [44]
Пусть АР АР ( Я) обозначает алгебру всех боровских почти периодических функций на прямой. Как указывалось в главе 1ДР изометрически - изоморфна пространству СШ) всех непрерывных комплекснозначных функций на боровской компактификации Н аддитивной группы jrt. Кроме того, с помощью группового изоморфизма R может быть вложено в Я в качеств всюду плотного множества, а пространство АР можно рассматривать как семейство сужений всевозможных функций из С ( НУ на всюду плотное в J. Образно можно сказать, что существует по меньшей мере один язык и одна техника, а именно техника боровской компактифйкавди позволяющие собрать под одной крышей всевозможные непрерывные периодические функции на прямой с различными ( например, с несоизмеримыми) периодами и заставить их действовать сообща. [45]