Cтраница 4
В случае линейной системы дифференциальных уравнений характер особой точки определяет движение системы при любых отклонениях о т состояния равновесия. Для нелинейной системы уравнений характер особой точки определяет поведение фазовых траекторий лишь в некоторой малой окрестности особой точки, где справедлива система уравнений первого приближения. При рассмотрении поведения фазовых траектории нелинейных систем на всей фазовой плоскости весьма важную роль играют особые траектории. [46]
В случае линейной системы дифференциальных уравнений характер особой точки определяет движение системы при любых отклонениях от состояния равновесия. Для нелинейной системы уравнений характер особой точки определяет поведение фазовых траекторий лишь в некоторой малой окрестности особой точки, где справедлива система уравнений первого приближения. При рассмотрении поведения фазовых траекторий нелинейных систем на всей фазовой плоскости весьма важную роль играют особые траектории. [47]
Для общего случая исследование характера особых точек начато Пуанкаре и еще далеко не закончено. [48]
Полученные результаты позволяют ответить на вопрос, как будет вести себя изображающая точка, а следовательно, и исходящая система при малых отклонениях от точки равновесия. Лишь в случае линейных систем характер особой точки полностью определяет поведение системы, а именно: если точка равновесия устойчива и является, например, устойчивым фокусом, то при любых сколь угодно больших отклонениях в системе всегда будут происходить затухающие колебания. Если точка равновесия неустойчива ( седло или неустойчивый узел, фокус), то будет происходить неограниченное удаление от положения равновесия. Если точкой равновесия является центр, то система консервативна и в ней имеется бесчисленное множество периодических движений. На фазовой плоскости этому соответствует семейство вложенных один в другой эллипсов. Если же система нелинейна, то характер особой точки вовсе не определяет поведения изображающей точки на всей фазовой плоскости. [49]
Мы получили уравнение точно такого же вида, что и уравнение ( ПИ. Поэтому все полученные ранее выводы относительно характера особых точек остаются в силе, и, следовательно, особые точки системы уравнений ( ПП. [50]
Для всей теории алгебраических функций и, в частности, для приложения к интегрированию уравнения первого порядка с неподвижными критическими точками основную роль играет понятие жанра функций. Задачей настоящего параграфа является определение жанра функции по характеру особых точек. Определение это дается при помощи формулы Римана. К выводу этой формулы мы и приступим. [51]
Особые траектории разбивают фазовую плоскость на ряд областей. Характер движения в каждой из этих областей нетрудно определить, если известен характер особых точек и определена устойчивость предельных циклов. [52]