Cтраница 2
Утверждение ( iv) принадлежит Хермандеру [16], и мм воспроизводим его доказательство. [16]
Весьма полно эффект отсутствия решений исследовал Хермандер ( см. [ 41, гл. [17]
В чрезвычайно содержательной и глубокой работе Хермандера [4] подробно исследованы операторы, названные автором субэллиптическими; в частности, даны критерии субэллиптичности псевдодифференциальных операторов. Во второй части этой работы развита общая теория сведения краевых задач для эллиптических систем в ограниченной области к системе псевдодифференциальных уравнений на граничном многообразии. В качестве иллюстрации результатов общей теории рассматривается классическая задача с косой производной для оператора Лапласа. [18]
Читателю стоит также ознакомиться с результатами Хермандера [ 1, § 2.9 ] о компактности оператора, обратного к линейному дифференциальному оператору в частных производных с постоянными коэффициентами. Эти результаты преподносятся там в контексте, несколько отличном от нашего. [19]
Михлин требовал выполнения оценки (1.1) при а п Хермандер [4] уменьшил количество производных, которое требуется оценить, а также заменил поточечные оценки (1.1) на / Лоценки. [20]
Все эти факты можно установить, повторяя доказательство Хермандера [23], но мы дадим более короткие доказательства, более тесно связанные с соответствующими доказательствами для дифференциальных операторов. В § 4 мы даем приложение наших результатов к гипоэллиптическим операторам. В § 5 вводятся пространства H ( S) функций, имеющих s производных в Z2, где s - произвольная бесконечно дифференцируемая функция. [21]
Используя весовые множители, предписанным образом растущие около границы, Хермандер [25] дал иное изложение неоднородных уравнений Коши - Римана в псевдовыпуклых областях. Ему удалось полностью обойти вопрос о регулярности решений около границы; более того, у Хер-мандера граница даже не должна быть регулярной. В работе [25] содержатся и другие приложения 1 / 2-техники к теории аналитических функций. [22]
Полное исследование этого совершенно неожиданного факта было дано в 1960 г. Хермандером, за что он и получил одну из Филдсовских медалей 1963 года. [23]
Случай, когда E F есть гильбертово пространство, был рассмотрен Хермандером [1] и использован им в теории линейных уравнений, в частных производных. Его доказательство существенно опирается на специфику этого частного случая. [24]
Полное рассмотрение необходимых и достаточных условий для выполнения этого соотношения проведено в книге Хермандера [ 7, гл. Доказательство опирается на один из вариантов теоремы Пэли - Винера - Шварца. [25]
В частности, можно ожидать лучшего результата, если вместо уточненного неравенства Гординга воспользоваться неравенством Хермандера - Мелина из § 4 гл. [26]
Отметим что задачи, аналогичные задаче Гурса, сформулированной в статье И. Г. Петровского, рассматриваются в V главе книги Хермандера [ 2, теорема 5.1.1 ], в работе Михайлова [43] ц ряде других работ. [27]
Хотелось бы продолжить аналитически этот результат на случай бр, однако здесь для / Анепрерывности необходимо, как показал Хермандер [17], более сильное условие; Кальдерой и Вайян-кур [2] установили достаточность этого условия. [28]
Очевидно, что из (2.4) следует (2.3); по поводу доказательства того, что из (2.3) следует (2.4), см. Хермандер [ 61 или Трев [ II; это доказательство опирается, в частности, на теорему Зейденберга-Тарского. Эквивалентность (2.2) и (2.4) немедленно вытекает из следующей леммы. [29]
Характеризация как эллиптических, так и гиперболических операторов будет дана с помощью соответствующего отношения частичного порядка: силы в случае Хермандера и доминирования в случае Трева, Рассмотрим каждое из этих понятий в отдельности. [30]