Cтраница 3
Фриман [1], Гехтман и Станкевич [1], Гилберт и Крамер [1], Глаз-ман [5], Гольдберг [2], Грейнер [1], Хельвиг [1], Хермандер [2], Хьюиг [1], И. [31]
Доказательство такое же, как и выше, причем (1.53) выводится ( при близких к единице у 1) с помощью одного из вариантов неравенства Хермандера, теоремы 4.2 гл. [32]
Хотя во всех случаях исследования проводились так, чтобы, по крайней мере частично, их можно было применить к операторам с переменными коэффициентами ( см. Хермандер [7]), мы ограничимся рассмотрением случая постоянных коэффициентов. [33]
Петровского, давшего полное описание класса уравнений вида Р ( D) u - Q, у которых все решения являются аналитическими, получили свое развитие в работах Хермандера, которому удалось описать класс уравнений такого вида, не имеющих решений, не являющихся бесконечно дифференцируемыми. [34]
Проблема существования и общие свойства решений по существу для того же самого класса задач были ранее изучены Жиро [95-97], использовавшим для этого метод интегральных уравнений, связанный с представлением решений в виде поверхностных потенциалов. Хермандер [333], используя метод Фурье, обобщил шаудеров-ские оценки на уравнения произвольного порядка. [35]
При б 0 имеются более сильные результаты, что и не удивительно, так как при положительных б точные результаты для случая L2 совершенно недостижимы методами, подобными примененным в доказательстве теоремы 2.1 или ее вариантов ( см. § 6 гл. Хермандер [ 121 показал, что при 0: б р 1 операторы из OPSjr / V1 2 переводят сотр в Lfoc, 1 р оо. Еще более точные результаты содержатся в записях неопубликованных лекций Стейна Сингулярные интегралы и псевдодифференциальные операторы, прочитанных в 1972 г. в Принстоне. Фефферман [1 ], где изучено свойство р ( х, D): L00 - В МО. Один из результатов Стейна, полученный также Каганом [1] и другими авторами, утверждает, что операторы из OPS. [36]
Хермандер, указанное неравенство с k n - 1 МОЖРЮ доказать непосредственно, опираясь на некоторые свойства е, 1, проявляющиеся при доказательстве теоремы Марцинкевича о мультипликаторах, но не отраженные в формулировке. [37]
В своей статье И. Г. Петровский основное внимание уделяет линейным уравнениям и системам. Хермандера Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными ( в 4 - х томах) [1], подводящее в определенной море итог исследованиям во многих разделах теории линейных уравнений с частными производными. Эти книги прекрасно иллюстрируют огромный прогресс в развитии теории линейных уравнений с частными производными за последние десятилетия. [38]
Естественно попытаться найти необходимые и достаточные условия, которым нужно подчинить многочлен Р ( %) для того, чтобы оператор Р ( D) был гипоэллиптическим. Хермандером [ 1, теоремы 3.3 и 3.4 ] получены различные такие условия; на некоторых из них мы остановимся. [39]
II, а неравенство Хермандера - Мелина - после гл. [40]
Мы коротко изложим исследования Хермандера по эллиптическим операторам и еще более коротко - часть результатов Трева о гиперболических операторах, оставляя в стороне случай гипоэллиптических операторов. [41]
Доказательство довольно длинное и техническое. Оно проводится методами, развитыми Хермандером [2] и Лоя-сиевичем [4] при изучении деления обобщенных функций. [42]
Для второго метода нужны два вспомогательных неравенства. Первое из этих двух неравенств принадлежит Хермандеру [ 1, теорема 2.1 ] и заключается в следующем. [43]
Основной результат геометрической оптики - это теорема Егорова, которая описывает, как действует на псевдо дифференциальный оператор сопряжение с разрешающим оператором гиперболического уравнения. В § 2 показано, что теорема Хермандера о распространении особенностей может быть выведена из теоремы Егорова. [44]
В случае бесконечной дифференцируемости коэффициентов доказана бесконечная дифференцируемость любых решений таких уравнений, если только заранее известно, что эти решения имеют несколько производных. Выделен класс линейных уравнений, названных гипоэллиптическими ( Хермандер [14]), обладающих тем свойством, что все решения таких уравнений бесконечно дифференцируемы, если коэффициенты бесконечно дифференцируемы. Доказано для уравнений с постоянными коэффициентами, что этим свойством обладают только гипоэллиптические уравнения, которые определяются, как и эллиптические уравнения, свойствами характеристического многочлена. [45]