Cтраница 4
В нашем случае поле Q ( б) х вырождено. Поэтому естественно ожидать, что интересующий нас индекс у ( б) совпадает с индексом нулевой особой точки поля Q ( б) х - 4 - Сх, если эта особая точка изолированная. В общем случае этот факт, к сожалению, неверен. [46]
Описанные операции определяют отображение точек сферы S. В общем случае индексом особой точки векторного поля называется степень отображения на сферу направлений. [47]
Таким образом, индекс - понятие геометрическое, не зависящее от системы координат. Это обстоятельство позволяет определить индекс особой точки не только на плоскости, но и на любом двумерном многообразии. Действительно, достаточно рассмотреть индекс особой точки на какой-нибудь карте: на других картах он будет тем же самым. [48]
Таким образом, индекс - понятие геометрическое, не зависящее от системы координат. Это обстоятельство позволяет определить индекс особой точки не только на плоскости, но и на любом двумерном многообразии. Действительно, достаточно рассмотреть индекс особой точки на какой-нибудь карте: на других картах он будет тем же самым. [49]
Если цикл Г начать непрерывно стягивать так, чтобы он не проходил при деформации через особые точки заданного векторного поля, то индекс цикла должен, с одной стороны, меняться непрерывно, а с другой - всегда быть равным целому числу. Это означает, что при непрерывной деформации индекс цикла не меняется. Исходя из этого свойства, под индексом особой точки понимают индекс простой замкнутой кривой, окружающей эту особую точку. [50]
Допустим, направление изменения давления выбрано так, что внутренняя и граничная особые точки будут сближаться друг с другом. Следовательно, сближаются и их проекции. Индекс сложной особой точки, расположенной на экваторе, будет равен алгебраической сумме индексов простых особых точек, число которых на сфере было равно трем. [51]
ВРАЩЕНИЕ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ на плоскости - одна из его гомотопически инвариантных характеристик. L - гладкая класса С2 кривая, то вращение касательного к L ( или нормального к L) поля т ( или v) вдоль L равно деленной на 2я полной кривизне L; если X - векторное поло ( с возможными изолированными особыми точками) в G с жордановой границей dG то В. OG равно сумме индексов особых точек X в замыкании G. [52]
Допустим, направление изменения давления выбрано так, что внутренняя и граничная особые точки будут сближаться друг с другом. Следовательно, сближаются и их проекции. Индекс сложной особой точки, расположенной на экваторе, будет равен алгебраической сумме индексов простых особых точек, число которых на сфере было равно трем. [53]
Поясним понятие индекса особой точки в случае векторных полей на плоскости. Выделим область содержащую внутри себя одну особую точку и ограниченную окружностью S1, на которой нет других особых точек. При движении вдоль окружности 51 вектор б непрерывно изменяется по направлению и длине. Число полных оборотов вектора при однократном обходе S1 ( против часовой стрелки) называется индексом особой точки. По условию обороты против часовой стрелки считаются со знаком плюс, а обороты по часовой стрелке - со знаком минус. [54]