Cтраница 4
Заметим, что каждое внутреннее Дифференцирование ограничено. Показать, что дифференцирование ограничено тогда и только тогда, когда оно может быть продолжено до дифференцирования и-алгебры. Показать, что если центр алгебры 8 равен 0, то каждое дифференцирование ограниченное. [46]
Если k - алгебраически замкнутое поле характеристики р 0, то неприводимые представления конечномерной алгебры Ли L всегда конечномерны и их размерность ограничена константой, зависящей от п dim L. Для описания множества неприводимых представлений в этом случае применяется следующая конструкция. Пусть Z ( L) - центр алгебры U ( L) и ML - аффинное алгебраич. Отображение рн ker ( p / Z ( L)) позволяет сопоставить каждому неприводимому представлению точку многообразия Цассенхауза. Получены также разнообразные результаты относительно специальных типов представлений. [47]
Возникает естественный вопрос: существуют ли для всех п нетривиальные непостоянные n - центральные полиномы. Оказывается, что таких полиномов очень много, но удивительно то, что указать хотя бы один из них трудно. Имея нетривиальный n - центральный полином, мы сможем показать, что центр алгебры Вп очень велик, откуда в силу леммы а будет следовать существование многих n - центральных полиномов. [48]
Редуктивные алгебры - это такие алгебры, у которых производные алгебры полупросты; они изоморфны произведениям абелевых и полупростых алгебр. Важность их связана с тем, что алгебры Ли компактных групп всегда редуктивны, но не всегда полупросты; кроме того, алгебра Ли полной линейной группы - редуктивная, но не полупростая алгебра. Теорема Вейля отчасти обобщается на случай редуктивных алгебр Ли: представление редуктивной алгебры Ли полупросто тогда и только тогда, когда оно индуцирует полупростое представление центра алгебры. С другой стороны, для того чтобы алгебра Ли g над полем характеристики 0 была редуктивна, необходимо и достаточно, чтобы она обладала по меньшей мере одним точным полупростым представлением. Отметим существенную разницу между случаем алгебр Ли и случаем ассоциативных алгебр: в последнем всякая алгебра, допускающая точное полупростое представление, сама полупроста и, следовательно, все ее представления полупросты. [49]
Продолжение Us полулинейно в Рп, и ему соответствует автоморфизм s, причем в Рп выполняются равенства Ul 1 и Usilt - Ust. Таким образом, в 6Р выполняется равенство JUS USJ. Это означает, что У отображает 31 в себя и поэтому индуцирует в 31 над Г инволюцию, которая будет первого рода, поскольку Г - центр алгебры St. [50]