Cтраница 1
Цермело первым заметил, что многочисленные математические исследования опираются на некоторую аксиому, которую он сформулировал как аксиому выбора. [1]
Цермело, комментируя данное рассуждение, писал: Доказательство теоремы А, являющееся чисто наглядным и логически уязвимым, напоминает известную примитивную попытку установить вполне упорядочение предложенного множества путем последовательного удаления произвольных элементов. [2]
Цермело назвал ее логическим принципом, несводимым к более простому. [3]
Цермело, вводя обе формы аксиомы для пересекающихся в общем множеств, упомянул, что это одно и то же, но не выделил этого обстоятельства. Так что Журден, упрекая Цермело в некорректности по поводу утверждения относительно эквивалентности общей аксиомы выбора и мультипликативной аксиомы с непересекающимися множествами или по крайней мере в недоказанности этой эквивалентности, был не прав. [4]
Цермело использовал простую, но фундаментальную теорему Пуанкаре о том, что консервативная динамическая система, удовлетворяющая некоторым широким условиям, имеет следующее свойство: почти каждое ( в некотором специальном смысле, поясняемом ниже) первоначальное положение системы обязательно будет повторено с любой степенью точности. [5]
Цермело - Френкеля, Бернайса и Бернай-са - Морса. [6]
Цермело предполагает эту операцию выполненной для каждого из множеств Е, образующих заданную совокупность. Как раз эта возможность и не считается очевидной. [7]
Цермело же объявил свою аксиому новым логическим принципом, не сводимым к прежним. Было от чего прийти в замешательство: безоговорочное принятие аксиомы выбора как нового логического принципа требовало перестройки всей системы логики для сохранения основного тезиса логицизма; да и прецедент опасен - вдруг появятся новые аналогичные принципы. [8]
Цермело и теперь считал свое первое доказательство свободным от предъявленных ему к тому времени возражений, но полагал полезным дать новое с целью, во-первых, избежать обращения к теоремам из теории вполне упорядоченных множеств, а во-вторых, представить более абстрактным образом саму идею вполне упорядочения ( с. [9]
Цермело; соотношения между математикой Цермело и евклидовой математикой интересно изучить, и, по моему мнению, было бы особенно интересно установить, может ли цермеловская математика привести к интересным результатам евклидовой математики, которые трудно доказать прямо, как это было в случае мнимых чисел. [10]
Цермело приводит к еще более парадоксальным следствиям; чтобы принять их, нужно было бы почти усомниться в человеческом разуме. [11]
Цермело построение теории множеств в виде формальной аксиоматической теории. Другая позиция была провозглашена Расселом и Уайтхедом в Principia Mathematica. Формальная теория множеств Цермело с последующими видоизменениями и усовершенствованиями оказывается полноценной основой для построения той теории множеств, которая нужна для известной нам математики, причем в этой аксиоматической теории удается избежать появления классических теоретико-множественных парадоксов - их нельзя вывести из аксиом этой формальной теории. Проблема непротиворечивости такой теории есть по существу проблема непротиворечивости классической математики - в Principia Mathematica было показано ( косвенным образом), что в рамках такой теории можно построить всю классическую математику. [12]
Цермело, функции, неизмеримой по Лебегу. Однако современное развитие методов математической логики позволяет думать, что такое построение принципиально неосуществимо. [13]
Цермело, молодой и темпераментный ученик Планка, атаковал статистические идеи Больцмана, используя теорему Пуанкаре, согласно которой любая механическая система является квазипериодической; как в таком случае могла величина, определенная через механические переменные, подобно больцмановской Н, постоянно уменьшаться. Для Больцмана не представляло труда опровергнуть этот аргумент, показав, что определение его функции Я включает вероятность и, следовательно, теорема об уменьшении ее должна пониматься статистически. Спор с обеих сторон велся на достаточно высоких нотах; Больц-ман проявил здесь свой саркастический ум, задевая также Планка, который поддерживал своего ученика. [14]
Цермело первым заметил, что многочисленные математические исследования опираются на некоторую аксиому, которую он сформулировал как аксиому выбора. [15]