Cтраница 2
Цермело пришел к равномерному распределению вероятностей на поверхности заданной энергии. Между тем, ни предположение безусловных вероятностей, ни предположение стационарности закона распределения вероятностей не являются в классической теории непосредственно необходимыми. [16]
Цермело в своей критике теории Больцмана особенно подчеркивал необходимость доказательства сохранения вероятностных предположений во времени, точнее говоря, доказательства того, что вероятностные предположения без противоречия могут быть отнесены ко всем моментам времени. [17]
Цермело, на самом деле эквивалентна аксиоме выбора. [18]
Цермело использовал простую, но фундаментальную теорему Пуанкаре о том, что консервативная динамическая система, удовлетворяющая некоторым широким условиям, имеет следующее свойство: почти каждое ( в некотором специальном смысле, поясняемом ниже) первоначальное положение системы обязательно будет повторено с любой степенью точности. [19]
Цермело ( 1908 г.) предложил ограничиться рассмотрением множеств, существование которых может быть доказано на основе некоторого списка аксиом. Предложенная Цермело система аксиом впоследствии была несколько расширена А. Френкелем и носит название системы Цермело-Френкеля ZF. Система ZF имеет следующие аксиомы. [20]
Цермело ( 1871 - 1953, ФРГ) вызвала самые острые математические коллизии начала века. И до работ Цермело. [21]
Цермело в имеющей решающее значение III аксиоме о подмножествах), большую точность, чем в казавшемся мне неудовлетворительном цермеловском определении. Попытка сформулировать эти принципы в виде аксиом образования множеств и выразить в явном виде требование, запрещающее существование всех множеств, кроме тех, которые допускают построение с помощью содержащихся в этих аксиомах конструктивных принципов, применяемых конечное число раз, не предполагая при этом известным понятие натурального числа, привела меня к далеко идущей и все более усложняющейся формализации, так и не доведенной до окончательного результата. Лишь в связи с общефилософскими идеями, к которым я в конце концов пришел после отхода от конвенционализма, мне удалось достичь ясного понимания того, что я столкнулся здесь со схоластической псевдопроблемой, и укрепиться в твердом убеждении ( в согласии с Пуанкаре, сколь ни мало я разделяю его философскую установку в остальных вопросах): представление об итерации - ряде натуральных чисел - составляет самую основу математического мышления; и это вопреки теории цепей Дедекинда, нацеленной на то, чтобы обосновать определение и умозаключение путем совершенной индукции силлогистически, без обращения к упомянутому выше наглядному представлению. Для того чтобы с помощью наших принципов можно было построить некоторую математическую теорию, необходим фундамент: какая-то основная категория и какое-то первичное отношение. Величине математики я усматриваю именно в том, что почти во всех ее теоремах в силу самой ее сущности всякий вопрос о бесконечном решается на уровне конечного; эта бесконечность математической проблемы базируется, однако, на том, что последний фундамент математики образуют бесконечный ряд натуральных чисел и связанное с ним понятие существования. Например, великая теорема Ферма сама по себе имеет смысл и либо истинна, либо ложна. Однако если я воспользуюсь каким-либо систематическим методом и начну подставлять по порядку все числа в обе части уравнения Ферма, то получить ответ на вопрос, истинна или ложна эта теорема, мне не удастся. [22]
Цермело высказал возражение против отказа от непредикативных определений, ссылаясь на то, что в таком случае пришлось бы отказаться от большей части математики, например от доказательства существования корня алгебраического уравнения. [23]
Цермело, Вейль и многие другие) не мог сравниться ни один состав университетских преподавателей математики. Знаменитые профессора, охотно вступавшие в научное сотрудничество, привлекали выдающихся слушателей со всего мира. [24]
Цермело, Цермело - Френкеля, Бер-найса и Бернайса - Морса. V - одноместный предикатные символы. Теория Цермело является подтеорией системы Цермело - Френкеля, а теория Бернайса - подтеория системы Бернайса - Морса. [25]
Цермело столкнулась с весьма сильной оппозицией. Французские математики Пуанкаре, Лебег, Борель не признали ее на том основании, что Цермело при доказательстве своей теоремы использовал специальную аксиому, им же самим введенную в теорию множеств и названную поэтому аксиомой выбора Цермело. Аксиома выбора формулируется так: Если Q - любое семейство непустых попарно не пересекающихся множеств Л, fl, С... [26]
Цермело - Френкеля без аксиомы бесконечности: в каждой из этих систем может быть построена модель другой. [27]
Цермело - Френкеля теории множеств и аксиомой выбора. HL), или ее отрицание, к-рое обозначается через ( LH), используется при доказательстве ряда теорем общей топологии. LH) эквивалентна одному из следующих утверждений: всякий бикомпакт мощности, не превосходящей мощности континуума, имеет всюду плотное подпространство, удовлетворяющее 1 - й аксиоме счетности; всякий диадп-ческий бикомпакт мощности, не превосходящей мощности континуума, метризуем. Из ( LH) вытекают следующие предложения: всякое нормальное пространство, удовлетворяющее 1 - й аксиоме счотности и Суслина условию, является коллективно нормальным; всякое сепарабельное нормальное пространство Мура метри-зуемо. [28]
Цермело ( 1913) о применении теории множеств к шахматной игре. [29]
Цермело использовал простую, но фундаментальную теорему Пуанкаре о том, что консервативная динамическая система, удовлетворяющая некоторым широким условиям, имеет следующее свойство: почти каждое ( в некотором специальной смысле, поясняемом ниже) первоначальное положение системы обязательно будет повторено с любой степенью точности. [30]