Несобственное вращение

Cтраница 3

Суть доказательства для группы 7V состоит з следующем. Компоненты полярного вектора, преобразующиеся как функции х, у, z при собственных и несобственных вращениях и которые поэтому осуществляют представление Г4 группы О, в случае группы Td осуществляют представление Гб. Это проверяется следующим образом. О и Td изоморфны группе перестановок 54; вращения из группы О приводят к перестановке четырех пространственных диагоналей куба, тогда как несобственные вращения из группы Td представляют четыре вершины тетраэдра. [31]

Элементы и операции симметрии. [32]

Эти элементы не ограничиваются наличием осей вращения. Имеются также плоскости зеркального отражения, центры симметрии ( центры инверсии) и оси несобственного вращения. [33]

Составляющие векторов г и dr, очевидно, изменяют при этом свой знак, и если вектор dQ действительно является вектором, то то же самое должно произойти и с его составляющими Но уравнения (4.93) сохраняют свою форму во всех координатных системах, что может иметь место лишь в том случае, когда составляющие вектора dQ не меняют своего знака. Таким образом, rfQ обладает всеми свойствами вектора, за исключением свойств, связанных с его поведением при несобственном вращении. [34]

В природе встречается и другой тип элементов симметрии - несобственные вращения. Несобственное вращение получается путем комбинирования вращения с инверсией относительно центра, расположенного на оси вращения. Например, отражение в плоскости представляет собой произведение вращения на угол я и инверсии. Отсюда вытекает, что произведение двух несобственных вращений является собственным вращением, а произведение собственного и несобственного вращений является несобственным вращением. Таким образом, группа G, содержащая хотя бы одно несобственное вращение, должна содержать столько же собственных, сколько и несобственных вращений и может быть представлена в виде комбинации подгруппы Gp собственных вращений и совокупности несобственных вращений вида giGp, где gi - некоторое несобственное вращение. [35]

Ортогональные преобразования, определитель матрицы которых равен - 1, меняют ориентацию троек векторов и называются несобственными вращениями. Несобственные вращения, конечно, группы не образуют ( почему. К несобственным вращениям относятся, например, преобразования, состоящие в отражении пространства относительно некоторой плоскости тс, проходящей через начало координат О. В самом деле, при отражении пространства относительно плоскости тс длины векторов и углы между ними сохраняются, а ориентация троек векторов меняется на противоположную. Легко доказать, что любое несобственное вращение можно представить в виде произведения собственного вращения и отражения относительно некоторой плоскости. [36]

Теперь можно объяснить основные правила, которыми выражают симметрию молекул, используя соответствующие обозначения. Воспользуемся обозначениями Шенфлиса, так как их наиболее часто применяют для молекул спектроскописты, химики и физики. Кристаллографы обычно используют другой набор обозначений, основанный на несобственном вращении, которое определено иным образом. [37]

Эйлера каждое собственное вращение, кроме тождественного, имеет однозначно определенную ось вращения п и угол вращения ср вокруг этой оси. Сохраняя п и уменьшая ср до нуля, можно перевести каждое собственное вращение в тождественное, а затем, обратной процедурой, в любое другое. Другая часть группы О ( 3), состоящая из несобственных вращений, не может быть связана с SO ( 3) непрерывным изменением, так как знак определителя det R при таком изменении не меняется; однако и эта часть связна. Чтобы в этом убедиться, заметим, что оператор нро-странствепного отражения Р ( см. (1.24)) переводит эту часть в SO ( 3) и обратно, так как det ( PR) - - det R. [38]

Видно, что наличие оси собственного вращения приводит к возникновению п операций; это противоположно случаю операций д и I, когда каждый элемент симметрии влечет за собой только одну операцию. Если, например, ось С3 и ось С2 перпендикулярны друг другу, то можно показать, что как прямое следствие выполнения различных операций должны существовать две другие оси С2, перпендикулярные оси С3 и составляющие углы 2л / 3 и 4я / 3 с первой осью второго порядка. Такая ситуация не осуществляется, если ось С3 перпендикулярна плоскости отражения. Кроме оси собственного вращения, рассмотренной выше, существует также ось несобственного вращения. Операция, связанная с этим элементом симметрии, может быть осуществлена в два этапа. Во-первых, выполняется собственное вращение вокруг оси, за которым следует отражение в плоскости, перпендикулярной этой оси. [39]

Но при инверсии составляющие векторов А и В меняют свой знак, и следовательно, знак С при этом не изменяется, что указывает на то, что это псевдовектор. Примерами псевдовекторов могут служить кинетический момент L ry p и напряженность магнитного поля. Скалярное произведение псевдовектора на вектор называется псевдоскаляром. В то время как истинный скаляр вполне инвариантен относительно ортогональных преобразований, псевдоскаляр изменяет свой знак при любом несобственном вращении. [40]

В таблицу характеров группы R ( 3) входят только характеры тождественного преобразования и операции вращения. В таблице характеров указано только одно такое вращение. В таблицу характеров группы О ( 3) должны входить еще характеры других операций. В конечных пространственных группах симметрии ( или точечных группах, как их принято называть) имеется пять типов операций симметрии ( см. гл. Несобственное вращение включает обычное вращение, которое сопровождается отражением в плоскости, перпендикулярной оси вращения. [42]

Схема, показывающая, что ни С6, ни ап не являются операциями симметрии для этана ( изображенного по оси С-С, в то время как совместное применение обеих операций, представляющее операцию SR, является операцией симметрии. [44]

Далее, определив и проиллюстрировав операции симметрии, обратимся к другому понятию, а именно к понятию элементов симметрии. Элементами симметрии являются оси, плоскости и точки, относительно которых или при помощи которых осуществляют операции симметрии. Следовательно, если можно осуществить операцию Сп, то молекула обладает осью симметрии п-го порядка. Аналогично оси, вокруг которых выполняются несобственные вращения Sn, являются 5д - осями. Возможно, что одна и та же линия одновременно будет осью симметрии разных видов. [45]

Страницы: 1 2 3 4