Cтраница 3
Преимущество интеграла Лебега состоит в том, что существенно расширяется класс интегрируемых функций. [31]
Определение интеграла Лебега, данное в этом параграфе, а также его свойства, устанавливаемые в следующих двух параграфах, могут быть перенесены на гораздо более общий случай. [32]
Знание интеграла Лебега не предполагается и не используется по существу. Встречающееся в двух-трех местах упоминание об интеграле в смысле Лебега вызвано тем, что без этого соответствующие определения расходились бы с общепринятыми. В рамках излагаемой в книге элементарной теории интегральных уравнений в качестве суммируемых функций достаточно брать функции непрерывные или же имеющие конечное число точек разрыва 1-го рода. Термин почти всюду достаточно понимать так: всюду, за исключением, быть может, конечного числа точек. То же относится и к обобщенным функциям. Предполагается, что читатель располагает лишь начальными сведениями о 6-функции в объеме материала, сообщаемого в § 1 гл. [33]
Понятие интеграла Лебега не относится к тем, которые легко можно объяснить неспециалисту, но, поскольку оно очень важно для дальнейшего содержания этой книги, я все же постараюсь если не изложить его во всей полноте, то хотя бы дать представление о том, что это такое. Каждому ясно, что значит измерить длину отрезка прямой линии или площадь, ограниченную окружностью или какой-нибудь другой гладкой замкнутой кривой. В тех случаях, однако, когда требуется как-то измерить длину ( или площадь, или объем) множества точек, причудливым образом разбросанных по бесконечному числу отрезков, или каких-то кусочков плоскости или пространства, ограниченных кривыми линиями или поверхностями, или тем более в случаях, когда наше множество точек является столь сложным, что даже приведенное выше довольно запутанное объяснение не описывает его строения, наглядные представления о длине, площади и объеме отказываются служить и для точного определения соответствующих понятий приходится привлекать довольно абстрактные формальные математические рассуждения. Интеграл Лебега как раз и является инструментом, созданным для измерения сложных точечных множеств подобного рода. [34]
Определение интеграла Лебега, конечно, несколько сложнее, чем оиреде ление интеграла Рямана. Введение этого усложнения оправдывается тем, что свойства интеграла Лебега проще, чем свойства интеграла Риманп. [35]
Теория интеграла Лебега - Стильтьеса от функций одного переменного, развитая в главе 7, может быть непосредственно обобщена на функции п переменных. [36]
Достаточно интеграла Лебега по мере щ, совершенно безразличного к размерности. [37]
Преимущество интеграла Лебега состоит в том, что существенно расширяется класс интегрируемых функций. [38]
Замечание 28.3. Интеграл Лебега обладает целым рядом естественных свойств, подобных свойствам интеграла Римана. [39]
Определим теперь интеграл Лебега функции, заданной на исей оси. [40]
Из свойств интеграла Лебега следует, что определение объема не зависит от выбора локальных координат, а также что объем ( конечный или бесконечный) определен на кольце всех измеримых подмножеств в М и вполне аддитивен. [41]
Такое определение интеграла Лебега аналогично определению интеграла Римана с той разницей, что при составлении лебеговских интегральных сумм на частичные сегменты разбивается не область определения, а множество значений функции. [42]
Различные определения интеграла Лебега, даваемые для различных классов функций, совместны а том смысле, что если два из них применимы, то они дают одно и то же значение. [43]
Затем определение интеграла Лебега было распространено на случай неограниченных функций и на случай функций от многих переменных. Были кратко рассмотрены основные свойства интеграла Лебега. В частности, была отмечена полнота пространства L2 квадратично интегрируемых ( на рассматриваемом множестве) функций. Это пространство играет весьма важную роль в функциональном анализе и его приложениях. [44]
Относительно определения интеграла Лебега - Стилтьеса см., например, Г и л ь д е б р а н д т [1]), стр. Это определение, даваемое обычно для монотонной функции а ( х), легко распространяется на случай, когда а ( х) - функция с ограниченной вариацией. [45]