Cтраница 3
Это соотношение, связывающее в любой момент состояние движения системы с ее конфигурацией, как и в случае одной материальной точки, также носит название интеграла живых сил. [31]
Можно заметить, что из трех уравнений движения два могут быть приведены к одной и той же форме в обеих системах: в самом деле, интеграл живых сил, очевидно, в обоих случаях один и тот же, кроме того, как уже показал Слессер ( Slesser) в статье, помещенной в Quarterly Journal of Mathematics ( 1873), мы имеем право написать для первой системы уравнение Ла-гранжа, относящееся к 0; это, очевидно, можно сделать и для второй системы. Но третьи уравнения различны для двух движений: для второй системы мы имеем интеграл т г, который не имеет места для первой системы. [32]
Далее, так как Тд можно здесь истолковать как потенциал центробежной силы, происходящей от вращения осей, то интеграл ( 54) можно отождествить с интегралом живых сил, который мы имели бы, если бы оси координат были неподвижны, а к прямо приложенной силе была прибавлена центробежная сила. [33]
Если мы в это уравнение подставим вместо & ее значение - Л, полученное из закона живых сил, то получим интеграл уравнений ( 14), играющий роль интеграла живых сил. [34]
Уравнения Вольтерра, или уравнения спонтанного движения гиростата с внутренними установившимися движениями, так же как и уравнения Эйлера, допускают два первых интеграла: интеграл моментов количеств движения и интеграл живых сил ( ср. Эти интегралы легко получаются формальным путем из тех же уравнений ( 48), но еще проще получить их, если обратиться и здесь к уравнению моментов количеств движения в векторной форме. [35]
Таким образом, если речь идет о консервативных силах, при наличии которых всегда имеется функция Лагранжа L T - - U, не зависящая от времени, то будет существовать и интеграл живых сил. Важный тип задач динамики диска встречается в авиации в тех случаях, когда, желая объединить законы движения самолета в вертикальной плоскости, приходится схематически уподоблять его диску с вертикальной плоскостью, в которой движется его центр тяжести; при этом, естественно, из действующих сил в основном учитываются только сила тяжести и сопротивление воздуха, оцениваемое надлежащим образом по отношению к действительному профилю самолета. [36]
Заметим, что в динамическом случае при связях, не зависящих от времени, и при действующих силах, являющихся производными от потенциала U, полученный таким образом интеграл есть не что иное, как интеграл живых сил. [37]
Таким образом, если динамическая система имеет k степеней свободы и если силовая функция и связи не зависят от времени, то достаточно знать 2k - 3 интегралов, не зависящих от времени и отличных от интеграла живых сил, чтобы задача могла быть закончена квадратурами. В частности, если имеются лишь две степени свободы, то знание только одного интеграла сверх интеграла живых сил достаточно для приведения задачи к квадратуре. [38]
Если связи, наложенные на материальную точку, вынужденную оставаться на материальной кривой, не зависят явно от времени, а действующие на точку активные силы обладают силовой функцией, то уравнения движения материальной точки допускают существование первого интеграла - интеграла живых сил. [39]
Вопрос о движении тяжелого твердого тела в случае, когда центр его тяжести находится в точке опоры, аналитически исследован Эйлером, который написал обширный трактат на эту тему; но полное решение его было дано с помощью изящного геометрического метода Пуансо, показавшим, что интеграла живых сил и площадей вполне достаточно, чтобы дать полную картину движений. Второй случай, который поддался решению, соответствовал таким обстоятельствам, при которых эллипсоид инерции относительно точки опоры есть эллипсоид вращения и на оси вращения этого эллипсоида лежит центр тяжести тела. [40]
Поэтому естественно, что предпринимались общие исследования вопроса о том, допускают ли и в каких случаях динамические уравнения тяжелого твердого тела, закрепленного в одной точке, помимо двух классических интегралов, какой-нибудь новый алгебраический интеграл, относительно переменных р, q, r, YH Tfa Тз - Однако глубокое исследование Гюссона 2), выполненное в более изящной форме Бургатти8), привело к заключению, что, помимо рассмотренных ранее случаев Эйлера, Лагранжа и Ковалевской, не существует других алгебраических интегралов, кроме интегралов живых сил и моментов. [41]
Случай, когда работу производит только сила тяжести. Интеграл живой силы может быть применен здесь независимо от того, свободна ли точка или вынуждена перемещаться без трения по неподвижной кривой или поверхности. [42]
Первые два интеграла суть интегралы, связанные с циклическими координатами ф и лр соответственно. Последний - интеграл живых сил - можно определить также непосредственно, ибо действительные перемещения находятся среди возможных; г0, k, h обозначают соответствующие постоянные первых интегралов, т - масса гироюкопа и кожуха. [43]
Интегралы эти понятны непосредственно из общих теорем. Первый интеграл является интегралом живых сил, второй интеграл - интеграл момента количеств движения. Действительные перемещения твердого тела с одной неподвижной точкой находятся среди возможных. Далее, твердое тело может вращаться вокруг любой неподвижной оси, проходящей через неподвижную точку О. [44]
Реакция неподвижной кривой и давление точки на кривую могут быть определены a priori для каждой точки на кривой, если известна скорость, которой будет обладать движущаяся точка, проходя через эту точку кривой, так как ] п / иг 2: К. Это будет в случае существования интеграла живой силы, так как этот интеграл выражает скорость как функцию от положения движущейся точки. [45]