Cтраница 3
Представление ( 5) позволяет получить ряд важных физических интерпретаций криволинейного интеграла второго рода. Какая работа затрачивается на перемещение точки Р по кривой. [31]
Криволинейные интегралы по переменным х, у и z называют криволинейными интегралами второго рода. [32]
Как левая, так и правая часть равенства ( 4) называется еще криволинейным интегралом второго рода. [33]
Действительная и мнимая части в равенстве ( 3) представляют собой интегральные суммы криволинейных интегралов второго рода. [34]
Из ( 4) ясно, что свойства интеграла ( 2) аналогичны свойствам криволинейных интегралов второго рода. [35]
Поверхностные интегралы второго рода можно рассматривать как обобщение двойных интегралов, подобное тому, каким криволинейные интегралы второго рода являются по отношению к определенным интегралам. При изучении криволинейных интегралов второго рода рассматривалась направленная кривая, в соответствующих интегральных суммах значения функции в точках кривой умножались на взятые с определенным знаком длины проекций дуг деления на координатные оси. В двумерном случае понятие направленной кривой заменяется понятием стороны поверхности, а при составлении интегральных сумм значения функции в точках поверхности умножаются на взятые с определенным знаком площади проекций поверхностей деления на координатные плоскости. [36]
Рассмотренный пример показывает, что применение формулы Стокса для вычисления работы силового поля ( а также других криволинейных интегралов второго рода) вдоль незамкнутых кривых удобно в тех случаях, когда достаточно просто вычисляются криволинейный интеграл по кривой, дополняющей данную кривую до замкнутого контура, и поток ротора данного векторного поля через поверхность, натянутую на этот контур. [37]
Рассмотренный пример показывает, что применение формулы Стокса для вычисления работы силового поля ( а также других криволинейных интегралов второго рода) вдоль незамкнутых кривых удобно в тех случаях, когда достаточно просто вычисляются криволинейный интеграл по кривой, дополняющей данную кривую до замкнутого контура, и поток ротора данного векторного поля через поверхность, натянутую на этот контур. [38]
При сделанных относительно векторного поля и ( х, у, z) и кривой L предположениях криволинейный интеграл второго рода всегда существует. [39]
Интеграл в левой ча -: ти формулы есть двойной интеграл по М, а интеграл в правой части - криволинейный интеграл второго рода по Г, пробегаемой в таком вправлении, что ближайшая часть М остается слева. [40]
В процессе доказательства теоремы 7.2 установлен не только факт существования интеграла, но и получено его представление (7.2) в виде суммы двух действительных криволинейных интегралов второго рода. [41]
Это свойство обеспечивает непрерывность частных производных от Re f ( z) и lmf ( z), поэтому, если использовать формулу (2.44), то легко видеть, что для каждого из подынтегральных выражений в криволинейных интегралах второго рода выполняются условия полного дифференциала, как условия Коши-Римана аналитических функций. А интегралы по замкнутым кривым от полных дифференциалов равны нулю. [42]
Выражение ( 2), очевидно, есть соответствующий криволинейный интеграл второго рода. Итак, криволинейный интеграл второго рода представляет собой работу переменной силы вдоль пути интегрирования, проекциями которой на координатные оси являются соответствующие коэффициенты при дифференциалах переменных. [43]
Поверхностные интегралы второго рода можно рассматривать как обобщение двойных интегралов, подобное тому, каким криволинейные интегралы второго рода являются по отношению к определенным интегралам. При изучении криволинейных интегралов второго рода рассматривалась направленная кривая, в соответствующих интегральных суммах значения функции в точках кривой умножались на взятые с определенным знаком длины проекций дуг деления на координатные оси. В двумерном случае понятие направленной кривой заменяется понятием стороны поверхности, а при составлении интегральных сумм значения функции в точках поверхности умножаются на взятые с определенным знаком площади проекций поверхностей деления на координатные плоскости. [44]
По определению пределом этой суммы является криволинейный интеграл второго рода. [45]