Cтраница 3
Мы видим, таким образом, что нахождение полного интеграла уравнения ( 176) дает общий интеграл системы ( 175), определяющей экстремали нашей задачи. Соотношение между системой ( 175) и уравнением ( 176) соответствует тому геометрическому факту, что всякое поле экстремальной задачи может быть описано либо при помощи самих экстремалей, образующих поле, либо при помощи трансверсальных поверхностей этого поля. [31]
Мы видим, таким образом, что нахождение полного интеграла уравнения ( 176) дает общий интеграл системы ( 175), определяющей экстремали нашей задачи. Соотношение между системой ( 175) и уравнением ( 176) соответствует тому геометрическому факту, что всякое поле экстремальной задачи может быть описано либо при помощи самих экстремалей, образующих поле, либо при помощи трансвер-сальных поверхностей этого поля. [32]
Задача интегрирования этой системы заменяется эквивалентной задачей отыскания полного интеграла уравнений Гамильтона - Якоби в частных производных. [33]
Задача интегрирования этой системы заменяется эквивалентной задачей отыскания полного интеграла уравнения Гамильтона - Якоби в частных производных. [34]
S ( q, a, t) есть любой полный интеграл уравнения (9.3), то определяемые равенствами (9.6) и (9.7) переменные ( qi, pi) будут каноническими и, следовательно, будут удовлетворять уравнениям Гамильтона. [35]
Таким образом, задача интегрирования системы (27.5) эквивалентна нахождению полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби. [36]
Чъ Чй t - Но тогда функция V не будет больше полным интегралом уравнения Якоби, так как она удовлетворяет не только уравнению Якоби, но еще и уравнению ( 10), которое не содержит t и поэтому отличается от уравнения Якоби. [37]
Из уравнений (8.3.6) видно, что для систем с разделяющими переменными полный интеграл уравнения в частных производных Гамильтона - Якоби можно получить в квадратурах. Возникает такая необычная ситуация, что сопряженные переменные qk pk в каждой паре связаны непосредственно друг с другом без участия остальных переменных. Механическая система с п степенями свободы может рассматриваться как суперпозиция п систем с одной степенью свободы. [38]
Задача определения общего интеграла канонических уравнений Гамильтона сводится теперь к нахождению полного интеграла уравнения в частных производных Гамильтона - Якоби. [39]
Мы показали, что интегрирование системы канонических уравнений сводится к нахождению полного интеграла уравнения Гамиль-тона - Якоби. Это положение имеет не только теоретический интерес. Оказалось, что многие задачи динамики и в том числе задачи, представляющие интерес для теоретической физики, получают на этом пути свое удобное практическое решение. [40]
Мы показали, что интегрирование системы канонических уравнений сводится к нахождению полного интеграла уравнения Гамильтона - Якоби. Это положение имеет не только теоретический интерес. Оказалось, что многие задачи динамики и в том числе задачи, представляющие интерес для теоретической физики, получают на этом пути свое удобное практическое решение. [41]
Изложенная выше теорема Якоби показывает нам, каким образом можно, имея полный интеграл уравнения ( 146), проинтегрировать соответствующую каноническую систему. [42]
Итак, показано, что интегрирование канонических уравнений Гамильтона можно заменить нахождением полного интеграла уравнения Гамильтона - Якоби. В общем случае обе эти задачи обладают одинаковой трудностью, однако имеются динамические задачи, для которых нахождение полного интеграла уравнения Гамильтона - Якобй оказывается более простым, чем интегрирование канонических уравнений Гамильтона. [43]
Из определения (9.72) и (9.73) видно, что функция действия (9.59) является полным интегралом уравнения Гамильтона - Якоби. [44]
Как было показано в предыдущих параграфах, применение метода разделения переменных позволяет получить полный интеграл уравнения Гамильтона - Яко-би. Однако этот метод не всегда применим. [45]