Cтраница 2
Можно надеяться, что главный вклад в континуальный интеграл будут давать метрики вблизи точек стационарной фазы действия, содержащего Л - член. Это приводит к рассмотрению положительно определенных метрик, удовлетворяющих уравнениям Эйнштейна с Л - членом на компактных многообразиях с очень сложными топологиями. Поскольку вид конформной аномалии известен [9], можно оценить однопетлевые члены. [16]
Эти формулы вместе с (5.64) позволяют сводить континуальный интеграл для - матрицы с произвольным взаимодействием полей ф, if, ф к интегралу для - матрицы с внешним источником. Функции Грина спинорного поля и формулы приведения получаются естественной модификацией формулы для скалярного поля. [17]
Дается формулировка квантовой теории поля в терминах континуального интеграла. Излагается общий метод квантования не-голономпых систем и на его основе строится схема квантования калибровочно инвариантных теорий поля. Формулируется инвариантная процедура перенормировки калибровочных теорий. Обсуждаются применения калибровочных полей в физике элементарных частиц. Расширены разделы, посвященные S-матрице и аномалиям в квантовой теории, а также внесен ряд других изменений и дополнений. [18]
Исследования, связанные с операторными эволюционными уравнениями ( Континуальные интегралы. [19]
В случае сильно шероховатой поверхности моделирование и вычисление континуальных интегралов становится затруднительным. Предпочтительней оказывается метод прямого моделирования поверхности. Правда, при этом труднее ответить на вопрос, какой класс реальных поверхностей такие модели представляют. В [21] моделируется гауссовский стационарный дифференцируемый процесс. Используется прием экономии памяти, пригодный для процессов с быстроубывающими корреляционными функциями. В [22] моделируемая поверхность состоит из случайно ориентированных плоских элементов, имеющих форму треугольника или четырехугольника. [20]
Так как действие 7 обычно положительно определено, сходимость континуального интеграла от всех таких полей улучшится. Продолжив аналитически выражение для него, можно вернуться в пространство Минковского. Это аналитическое продолжение автоматически включает понятия положительной частоты и хронологического упорядочения. [21]
Полученные выше формулы, выражающие оператор эволюции в виде континуального интеграла, непосредственно переносятся и на этот случай. [22]
Решения многих физических задач записываются в виде так называемых континуальных интегралов. В работе И.М. Гельфанда и Н.Н. Ченцова [3] впервые численно реализовано приближенное вычисление континуальных интегралов путем аппроксимации интегралом Стильтьеса высокой кратности и дальнейшего применения метода Монте-Карло. [23]
Все эти выводы в равной мере относятся и к континуальным интегралам, содержащим фермиевские переменные. В этом случае следует помнить об антикоммутативности вариационных производных и в формулах замены переменных соответствующий детерминант писать в знаменателе вместо числителя. [24]
Это, разумеется, не освобождает от необходимости придания континуальным интегралам точного математического смысла, а также обоснования законности применения к ним интегрального исчисления, аналогичного обычному. Но именно такого обоснования и не было до сих пор получено в математической литературе для ситуаций, возникающих в реалистических моделях квантовой теории поля. В настоящее время, по-видимому, существуют только две математические монографии, посвященные интегралу Фейнмана. Одна из них - книга Альбеве-рио и Хег-Крона [1] - даже в момент выхода ( 1976 г.) представляла в основном чисто методический ( или по крайней мере чисто математический) интерес. В ней рассматриваются интегралы Фейнмана от функций, являющихся преобразованиями Фурье обычных счетно-аддитивных мер на бесконечномерном пространстве; поэтому наиболее интересные для физики задачи оказываются вне рамок теории Альбеверио и Хег-Крона. Следует также заметить, что в книге этих авторов не только очень узок запас интегрируемых функций, но и само интегральное исчисление для интегралов Фейнмана развито явно недостаточно. Противоположная по характеру книге Альбеверио и Хег-Крона, она содержит ряд глубоких оригинальных идей и, в частности, новый подход к исследованию интегралов Фейнмана по пространству траекторий. Хотя все эти идеи реализуются в ней применительно к конечномерной ( но зато, вообще говоря, нелинейной) квантовой механике, они имеют смысл и могут быть применены и в бесконечномерном случае, что может представить интерес в связи с квантовой теорией струн. Часть этих идей - подходящим образом развитых - обсуждается ниже. [25]
Фейн-ман положил в основу своей полуэвристической техники выражения амплитуд через континуальные интегралы по классическим траекториям. Пространство траекторий является бесконечномерным функциональным пространством, и математикам до сих пор не удалось построить общую теорию, в которой были бы оправданы все замечательные вычисления физиков. [26]
Я считаю, что такие вырожденные метрики необходимо включать в континуальный интеграл. Именно они позволяют совершить непрерывный переход от одной топологии пространства-времени к другой. [27]
В этом случае мы, разумеется, не можем вычислить соответствующий континуальный интеграл точно и ограничимся построением для него теории возмущений. Покажем, что в этом случае задача сводится к уже решенной задаче о рассеянии на внешнем поле. [28]
Как мы уже говорили, на сегодня не существует определения континуального интеграла во внутренних терминах. [29]
Здесь мы называем некоторые направления исследований, связанные с теорией континуальных интегралов, но не нашедшие отражения в книге. [30]