Cтраница 3
Пока не ясно, насколько полезно в этих ситуациях применение континуальных интегралов. [31]
В работе [8] рассмотрен вопрос о повышении эффективности метода Монте-Карло при вычислении континуальных интегралов. Существенным моментом, обеспечивающим это повышение, было впоследствии ставшее классическим следующее преобразование исходного континуального интеграла. [32]
Конечно, основной причиной этого являются реальные математические трудности, возникающие при исследовании континуальных интегралов. Если это последнее пространство конечномерно, то после отождествления мер с их плотностями определяемое так Преобразование Фурье совпадет с классическим. Таким обратом, теория интеграла Фейнмана - это бесконечномерный ана - Йог классического гармонического анализа функций, определенных на конечномерном евклидовом пространстве. Именно математическими трудностями объясняется и то обстоятельство, что в течение почти двадцати лет после появления ( в вышедшей в 1948 году работе Фейнмана) концепции континуального интегрирования она воспринималась только как изящный, но недостаточно понятный и в основном бесполезный способ переформулировки известных результатов. Еще в 1965 г. Фейнман и его соавтор по книге Квантовая механика и интегралы по траекториям Хибс были вынуждены оправдываться в том, что осмелились посвятить целую монографию этому подходу к квантовой механике. Положение резко изменилось только в 1967 г., когда в работе Л. Д. Фаддеева и В. Н. Попова с помощью континуальных интегралов был получен ранее неизвестный результат - проведено квантование калибровочных полей. Хотя примерно одновременно ( и независимо) похожий результат был получен Брайсом де Виттом с помощью традиционной операторной техники, именно простота и естественность подхода Фаддеева-Попова, основанного к а использовании континуального интеграла, привела к тому, что работа де Витта прошла незамеченной. [33]
Известно, что ответы многих физических задач можно записать в виде так называемых континуальных интегралов - интегралов в функциональных пространствах. Однако самое вычисление континуального интеграла вызывает ряд трудностей, и только в редких случаях можно довести аналитические выкладки до числа. Поэтому неоднократно высказывалось мнение о практической бесполезности такого ответа. [34]
Искомые характеристики записываются через решение системы П и выражаются линейными формами от некоторых континуальных интегралов; коэффициенты форм определяются приближенно прямыми методами. Указываются приемы уменьшения объема вычислительной работы, приведен конкретный числовой результат. [35]
Как известно, выражения для S-матрицы в любой теории можно записать в виде континуального интеграла в фазовом пространстве fdpdtpexp [ i f dx ( pq - H ( p, cp)) ] по независимым каноническим переменным. В киральных теориях интегрирование по каноническому импульсу р приводит к выражению (32.7), которое является прямым обобщением на риманово пространство континуальных интегралов по полям в обычных полевых пространствах. [36]
В этом случае выражение (4.149) молсно трактовать как запись решения уравнения (4.144) в виде континуального интеграла. [37]
В заключение этого раздела отметим, что представление поля w ( xR) в виде континуального интеграла позволяет исследовать и вопрос о пределах применимости приближения дельта-коррелированного случайного поля e ( xR) для флуктуации интенсивности волны. [38]
Насколько нам известно, предложенное нами в первом издании изложение формализма квантовой теории поля в терминах континуального интеграла явилось первой попыткой в этом направлении. Ициксона [8], в которых континуальный интеграл занимает значительное место. Исправления, внесенные нами во второе издание, сделали его, как мы надеемся, более самосогласованным и позволят использовать эту книгу в качестве учебного пособия по современной квантовой теории поля. [39]
В то же время неизвестно, можно ли произвольному дифференциальному уравнению в частных производных поставить в соответствие континуальный интеграл. [40]
В применении к реалистическим теориям наиболее последовательно проработана схема теории возмущений и диаграмм, позволяющая придавать смысл континуальным интегралам и вычислять их. В этой схеме Ф принято рассматривать как набор функций на пространстве-времени, снабженных тензорными, спинорными и внутренними индексами; последние преобразуются по некоторому представлению группы внутренних симметрии теории. Кроме того, лагранжиан свободного неабелева калибровочного поля содержит самодействие, учет которого в формализме теории возмущений также калибровочно неинвариантен. В диаграммной технике возникают духи Фаддеева - Попова, неопределенности Грибова и пр. [41]
Следует, однако, ожидать, что, как только будут разработаны приемы численного континуального интегрирования, решение задач при помощи континуальных интегралов приобретет практический интерес. В настоящей заметке предлагается следующий путь расчетов. Континуальный интеграл, записываемый как интеграл по некоторой мере, аппроксимируется конечномерным интегралом Стильтьеса достаточно высокой кратности, который затем и вычисляется обычным образом. Этот путь оказывается вполне приемлемым, так как вычисление кратных интегралов при помощи современной вычислительной техники особых затруднений не вызывает. [42]
Поскольку при нецелом или комплексном п регуляри-зованной теории нельзя сопоставить никакого лагранжиана, простое доказательство унитарности, использующее замены переменных в континуальном интеграле, в этом случае неприменимо и необходимо работать непосредственно с диаграммами Фейнмана, что значительно более трудоемко. Дополнительные сложности возникают при регуляризации теорий, включающих фермионы. Поскольку алгебра уматриц существенно зависит от числа измерений пространства, такие теории нуждаются в специальном рассмотрении. [43]
Возможность использования методов теории поля связана с тем, что производящий функционал распределения Гиббса вероятностей состояний таких статистических ансамблей может быть представлен в виде континуального интеграла по случайному полю, пропорциональному флуктуирующей плотности звеньев или химически реагирующих функциональных групп. Вычисление этого интеграла методом перевала при е - - 0 приводит к термодинамическим потенциалам теории среднего поля, а для расчета поправок к ним по малому параметру е необходимо учитывать флуктуации поля с помощью специальных методов теории возмущений применительно к функциональным интегралам. Для этого в разделе IV развита диаграммная техника, которая применена также к расчету парных корреляционных функций. Наиболее эффективен этот метод при построении статистической теории разветвленных полимеров, учитывающей кроме химических, также физические ( объемные) взаимодействия молекул. В таком варианте теория учитывает термодинамическое сродство полимера с растворителем и поэтому описывает фазовые переходы в процессе образования полимерных сеток. [44]
Важное понятие топологической квантовой теории поля было выделено после того, как выяснилось, что они представляют большее, чем просто конструкцию инвариантов узлов и многообразий с помощью континуального интеграла или более строгих комбинаторных конструкций. [45]