Cтраница 2
Множество H1 ( R ( j ( X)) есть множество классов вполне интегрируемых уравнений вида d / - / - 1a, afta, относительно калибровочных преобразований. [16]
Получим аналогичные соотношения, заменяя в этом выражении и и х через v и у или w и г. Из этого интегрируемого уравнения круговой перестановкой букв а, Ь, с можно получить два других. [17]
Исходные реализации нестационарной и стационарной ( сверхзвуковой) монотонных схем на гладких решениях и на регулярных разностных сетках обеспечивали первый порядок аппроксимации интегрируемых уравнений. [18]
Следует отметить, что дополнение интегратора устройством для учета источников с интенсивностью, зависящей от определяемой функции, позволяет несколько расширить класс удобно интегрируемых уравнений. [19]
В главе 1 мы опишем метод Уолквиста и Эстабрука в общем случае, а затем, в главе 2 проиллюстрируем его иа примере наиболее известных интегрируемых уравнений Кортевега - де Вриза, Лиувил-ля, синус - Гордона. При этом мы в основном будем следовать работам [31-35], но дополним их алгебраической интерпретацией результатов а духе изложенных выше представлений. [20]
В этом случае дифференциальные уравнения могут быть приведены посредством умножения на соответствующие множители и сложения к такому виду, что / из них дают непосредственно интегрируемые уравнения, а именно, те уравнения, которые получаются в результате дифференцирования / конечных соотношений. [21]
ТЕОРЕМА 5.2. Всякое семейство гладких поверхностей в пространстве переменных х, у, z, зависящее от одного параметра, определяет общее решение некоторого вполне интегрируемого уравнения Пфаффа. [22]
Для произвольного ( банахова) пространства Е и произвольного выпуклого телесного конуса Ж в нем теория характеристических функционалов развита в работе [61]; здесь же дано и применение этой теории к исследованию линейных вполне интегрируемых уравнений. [23]
В книге затронуты следующиеС основные темы: 1) некоторые механические системы и соответствующие т / Г гамильтоновы уравнения; 2) основы симплектической геометрии; 3) элементы симп-аектической топологии; новая качественная топологическая теория интегрируемых дифференциальных уравнений; новый топологический инвариант интегрируемых уравнений ( позволяющий классифицировать их по топологическому типу); 3) классификация перестроек торов Лиувилля в момент пересечения критиче -: ких уровней энергии; 5) коммутативное и некоммутативное4 интегрирование гамильтоновых уравнений; приложения; 6) интегрирование некоторых конкретных динамических систем; методы и приложения; 7) некоторые механизмы иеинтегрируемости гамильтоновых дифференциальных уравнений. [24]
Важные для практики задачи описываются, как правило, не-иптегрируемыми уравнениями типа ( 151), поэтому для построения приемлемых приближенных решений применяются разнообразные, хорошо известные методы теорид возмущений. Класс интегрируемых уравнений типа ( 151) очень узок, и обычно они описывают модели, далекие от сложных реальных физических, механических и других систем. [25]
НУШ было описано односолитонное решение - со-литон Хасимото. Уравнение Хироты относится к классу интегрируемых уравнений и также имеет точное решение в виде солитонов. [26]
В книге также отражены результаты, полученные автором, в частности теория топологических перестроек торов Лиувилля и полная классификация изоэнергетических поверхностей гамиль-гоновых уравнений, интегрируемых при помощи интегралов общего положения. В рамках этой теории обнаружена глубокая: вязь между свойствами интегрируемых уравнений и топологией трехмерных многообразий, обнаружен топологический инвариант интегрируемых уравнений общего положения. В книге освещаются также результаты, полученные участниками научно-исследова - ельского семинара Современные геометрические методы, действующего под руководством автора на механико-математичес-сом факультете МГУ. [27]
В заключение нам хотелось бы подчеркнуть, что приведенные здесь элементы различных подходов и их взаимосвязи, с нашей точки зрения, достаточно наглядно свидетельствуют о наличии чрезвычайно богатой внутренней структуры интегрируемых систем и, в частности, рассматривавшегося более подробно уравнения Эрнста. Каждый из существующих подходов к описанию различных аспектов внутренней структуры вполне интегрируемых уравнений обладает своей красотой и, конечно же, заслуживает значительно более детального рассмотрения и анализа. Не надеясь в этом сравнительно кратком обзоре сколь-нибудь полно отразить разнообразные применения, а также все достоинства упомянутых здесь методов, мы хотели лишь выделить некоторые существующие взаимосвязи и аналогии, возникающие при рассмотрении различных случаев интегрируемости и подходов к построению преобразований Беклунда, что может способствовать формированию более общих представлений о структуре интегрируемых уравнений, выделению наиболее общих свойств и закономерностей, а также помочь выделить на этом фоне специфические особенности некоторых из рассматриваемых уравнений, которые могут указывать новые пути к их интегрированию. [28]
Значит, уравнения с разделенными переменными составляют как бы первый класс непосредственно интегрируемых уравнений. [29]
Применяют также методы, имеющие менее универсальный характер, например методы анализа чувствительности функционалов зависимостей V (), получающихся при интегрировании систем ОДУ. В этих методах или сокращается число вариантов интегрирования уравнений, или упрощается система интегрируемых уравнений. [30]