Cтраница 3
Как уже отмечалось, книга посвящена общим проблемам вполне интегрируемых уравнений. В ней не затронуты вопросы приложений рассматриваемого класса уравнений и ряд теоретических аспектов вполне интегрируемых уравнений: их включение потребовало бы привлечения большого материала, лежащего в стороне от основного направления книги. [31]
В частности, они показали, как их подход дает - солитонные решения вполне интегрируемых уравнений. Эта взаимосвязь еще не до конца понята, но, по-видимому, должна быть плодотворной для обоих подходов. [32]
Основная задача, которую ставил автор при написании книги, состоит в изложении общих вопросов теории вполне интегрируемых уравнений. [33]
Изучаются алгебраические структуры, связанные с преобразованиями - Беклунда нелинейных дифференциальных уравнений. Дано изложение метода продолженных структур Уолквиста-Эстабрука и описаны его связи с преобразованиями Беклунда и F - G-парами интегрируемых уравнений. В качестве примеров рассмотрены уравнения Кортевега-де Вриза, Лиувилля и синус - Гордона. Разработаны преобразования Беклунда цепочек Тоды, имеющие непосредственную групповую интерпретацию. Подробно исследованы продолженные структуры уравнения Эрнста, показано, как с их помощью строятся его преобразования Беклунда. [34]
Область пространства ( х, у, е), в которой существуют предельные циклы главного локального семейства ( 13), подходит к нулю узким языком. Замена времени, координат и параметров превращает трудное главное семейство, рассматриваемое в этой области, в малое возмущение интегрируемого уравнения. [35]
В книге также отражены результаты, полученные автором, в частности теория топологических перестроек торов Лиувилля и полная классификация изоэнергетических поверхностей гамиль-гоновых уравнений, интегрируемых при помощи интегралов общего положения. В рамках этой теории обнаружена глубокая: вязь между свойствами интегрируемых уравнений и топологией трехмерных многообразий, обнаружен топологический инвариант интегрируемых уравнений общего положения. В книге освещаются также результаты, полученные участниками научно-исследова - ельского семинара Современные геометрические методы, действующего под руководством автора на механико-математичес-сом факультете МГУ. [36]
В первом томе этот подход развивается для одномерного оператора Шредингера. В соответствии с этим авторы занимаются в основном теорией уравнения Кортевега - де Вриза и его высших аналогов, хотя и предъявляют внушительный список других интегрируемых уравнений, теория которых должна составить содержание второго тома. [37]
Впервые в научной литературе дано систематическое изложение теории вполне разрешимых уравнений. Рассматриваются следующие вопросы: общая теория вполне интегрируемых дифференциальных уравнений, методы исследования линейных уравнений, качественная теория нелинейных автономных уравнений, теория устойчивости, вполне интегрируемые уравнения на многообразиях, теория многомерных дискретных систем. [38]
Характерно, что некоторые ученые, учитывая все повышающееся быстродействие и специализацию электронных вычислительных машин, провозгласили в наши дни девиз творческой работы: Ученый обязан лишь составлять ( открывать) новые уравнения, а решать их будет машина; аналитические методы решения - вымирающие методы. Можно было бы указать на некоторые современные работы по прикладной динамике, в которых при составлении уравнений, описывающих закономерности процессов движения, приняты во внимание почти все малозначащие факторы. Известное высказывание Н. Е. Жуковского о том, что механик должен составлять интегрируемые уравнения, считается совершенно устаревшим, а выполнение этого требования - перегружающим ум исследователя дополнительной ненужной и достаточно трудной работой. [39]
Действительно, уже в первой работе Эстабрука и Уолквиста [31] было показано, что в важнейших случаях вполне интегрируемых уравнений из генераторов этой алгебры продолженных структур удается построить алгебры Ли с конечным числом параметров, а рассмотрение различных их реализаций приводит к эффективным методам построения пар Лакса, а также законов сохранения и преобразований Беклунда. [40]
Проводится топологическая классификация орбит; оказывается, что с точностью до гомеоморфизма всякая орбита есть топологическое произведение тора и подпространства. Затрагивается вопрос о топологической классификации уравнений в некоторых областях фазового пространства. Излагается теория первого интеграла и вопросы разрешимости систем квазилинейных уравнений с частными производными, тесно связанные с теорией автономных вполне интегрируемых уравнений. [41]
Группы симметрии дифференциальных уравнений или вариационных задач, до сих пор рассматривавшиеся в этой книге, все были группами локальных преобразований, геометрически действующих на пространстве независимых и зависимых переменных. Эмми Нетер первой осознала, что можно значительно расширить приложения методов групп симметрии, включая в преобразования ( или, точнее, в их инфинитезимальные образующие) производные соответствующих зависимых переменных. В последнее время доказана важность этих обобщенных симметрии 1) в изучении нелинейных волновых уравнений, где оказывается, что обладание бесконечным числом таких симметрии является характеристическим свойством интегрируемых уравнений ( таких, как уравнение Кортевега - де Фриза, имеющее солитонные решения), которые могут быть линеаризованы или непосредственно, или с помощью обратной задачи рассеяния. В первом параграфе этой главы представлена основная теория обобщенных векторных полей и соответствующих преобразований из группы, которые находятся теперь путем решения задачи Коши для некоторой соответствующей системы эволюционных уравнений. Определение обобщенных симметрии системы дифференциальных уравнений по существу такое же, как и раньше, хотя промежуточные вычисления обычно оказываются гораздо более сложными. Другой подход к этой проблеме состоит в применении оператора рекурсии, который будет порождать сразу бесконечные семейства симметрии. Этому посвящен второй параграф. [42]
В заключение нам хотелось бы подчеркнуть, что приведенные здесь элементы различных подходов и их взаимосвязи, с нашей точки зрения, достаточно наглядно свидетельствуют о наличии чрезвычайно богатой внутренней структуры интегрируемых систем и, в частности, рассматривавшегося более подробно уравнения Эрнста. Каждый из существующих подходов к описанию различных аспектов внутренней структуры вполне интегрируемых уравнений обладает своей красотой и, конечно же, заслуживает значительно более детального рассмотрения и анализа. Не надеясь в этом сравнительно кратком обзоре сколь-нибудь полно отразить разнообразные применения, а также все достоинства упомянутых здесь методов, мы хотели лишь выделить некоторые существующие взаимосвязи и аналогии, возникающие при рассмотрении различных случаев интегрируемости и подходов к построению преобразований Беклунда, что может способствовать формированию более общих представлений о структуре интегрируемых уравнений, выделению наиболее общих свойств и закономерностей, а также помочь выделить на этом фоне специфические особенности некоторых из рассматриваемых уравнений, которые могут указывать новые пути к их интегрированию. [43]
Хотя экспериментально полученное дифференциальное кинетическое уравнение не позволяет установить определенного механизма, оно дает ценную информацию относительно вообще возможных механизмов и, разумеется, всегда описывает зависимость концентраций от времени. Часто удобно иметь кинетическое уравнение в интегральной, а не в дифференциальной форме. Далеко не все кинетические уравнения могут быть легко проинтегрированы. К счастью, немногие легко интегрируемые уравнения охватывают большое число обычных химических систем. [44]
Решение уравнения в частных производных с заданными начальными условиями представляет собой довольно трудную и не всегда выполнимую задачу. Это особенно справедливо, когда граничные условия периодичны. Однако если в уравнении не учитывать диссипацию, то задача может иметь точное решение, которое до некоторой степени приближает решение исходной задачи. Область применения этих методов не ограничена классом интегрируемых уравнений, подобных НУШ. [45]